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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
(f+g)' = f' + g',
·
(fg)' = f'g+fg',
x = 1,
C' = 0,
für jede Konstante C.
Daraus folgt z. B.:
(fgh)'= fghfg'h +fgh',
allgemein:
(fofi···fr)'= fo'fi· · · fr + fofi' f2
•
fr+
fof1 · · · fr
fr-1f'r',
wie durch den Schluß von n auf n + 1 zu beweisen ist.
Setzt man speziell:
so folgt:
fo = fi
- ... =
=fr_1=g und f= h,
(g″h)' = gr−¹(rhg'+gh');
wählt man noch h1, so folgt:
(g″)' = r gr− ¹g',
und speziell für g = x:
(x')' = r x² - ¹,
- 1,
also für irgendeine ganze Funktion:
(a + bx + cx² + dx³ + · · ·)' = b + 2cx + 3dx² +
Ist fgh, so ergibt sich aus f'g'h + gh', daß h' oder
also:
(4)'= 5
g' f
•
g g
(4)-19-19
=
f'g-fg
g²
ist.
Dies ist für den Fall hergeleitet, daß
eine ganze Funktion
g
f
ist, muß also für den Fall, daß
Definition angenommen werden.¹)
keine ganze
ganze Funktion ist, als
g
f(x) + g(x)y + h(x)y² +
Ebenso ist es möglich, wovon wir aber keinen Gebrauch zu
machen haben, die Ableitung einer Funktion y
welche durch eine Gleichung:
als implizite Funktion von x gegeben wird.
1) Das ist also eine Anwendung von Hankels Prinzip der Permanenz der
formalen Gesetze; s. dessen Theorie der komplexen Zahlensysteme (Leipzig
1867) p. 10.
F(x) zu definieren,
0