214
Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
3
2
Formel U+u, der angegebenen regulären Teilung eine solche,
bei welcher jede Seite des umschriebenen Vielseits den kleinsten Ab-
stand vom Schnittpunkte der vorhergehenden und nachfolgenden hat,
usw. Schließlich gehe man von der Kugel wieder auf die Ebene
zurück. So erhält man das Resultat: für elliptische Bogen liefert
das harmonische Mittel aus U und u (mit den Gewichten 1:2) die
beste Rektifikation bei der angegebenen Wahl der Zwischenpunkte.
Entsprechend erhält man für hyperbolische Bogen durch die Pseudo-
sphäre (Nicht-Euklidische hyperbolische Ebene), daß das arithmetische
Mittel aus U und u (mit den Gewichten 1: 2) die beste Rektifikation
bei der angegebenen Wahl der Zwischenpunkte liefert.
Für die wirkliche numerische Approximation wird man stets
einfach nach den logarithmischen Formeln:
Segm÷J¿¹,
Segm J, Bogen
Uu
rechnen; da eine Einteilung eines Bogens in elliptische und hyper-
bolische Teile, und die Aufsuchung der besten Zwischenpunkte un-
nötig kompliziert wäre. Für das wirkliche Abgreifen der Ent-
fernungen sind Formeln wie:
4
2 n
-
1
3
Ип
oder uu
n
bequemer, da sie nur Sehnenzüge erfordern.
Zur approximativen Rektifikation des Ellipsenquadranten mit den
Halbmessern a>b gibt Schlömilch¹) die Formel:
b2
0,9827 · a +0,3110 · b + 0,2867 · a
die stets zwei richtige Dezimalstellen gibt; der Fehler erreicht nie
6% von a. Die Koeffizienten sind nach der Methode der kleinsten
Quadratsummen bestimmt.
Mechanische Komplanationen und Kubaturen findet man bei
Heron), Kepler³), Lambert¹), Geisenheimer") u. a.“)
1) Schlöm. Ztschr. 10 (1865), p. 501.
2) Metrica ed. H. Schöne (Leipzig 1903).
3) Stereometría doliorum, Opera omnia ed. Frisch, Francoforti et Erlangae 4
(1863), p. 545.
4) Beyträge I, p. 314.
5) Schlöm. Ztschr. 30 (1885), p. 325.
6) Cantor IV, p. 371.