Kapitel III. Mechanische Quadratur und Rektifikation.
213
h
2
½ (a + b),
h
3
(a + m + b), usw.
die vorteilhafteste Lage der Ordinaten.
Die analoge Frage kann man für die Approximation durch ein-
und umbeschriebene Polygonzüge behandeln, indem man natürliche
Koordinaten (Bogenlänge und Totalkrümmung) zugrunde legt. Be-
ruhen die Cotesischen Formeln auf der Approximierung beliebiger
Kurvenbogen durch höhere Parabeln gegebener Achsenrichtung (worin
eine Willkürlichkeit liegt), so beruhen die hier behandelten auf der
Approximierung durch Kreisbogen, was mehr im Sinne der natür-
lichen Geometrie" (geometria intrinseca) ist. Übrigens fehlen zu den
Cotesischen Formeln noch die analogen für die Rektifikation.
Beste Wahl der Zwischenpunkte.
Das Analogon zur Gaussschen zweckmäßigsten Wahl der Zwischen-
punkte besteht bei hyperbolischen Bogen ¹) in folgendem: Zur Qua-
dratur des Segmentes OP") sind die Zwischenpunkte P', P", ... am
besten SO zu wählen, daß der Sehnenzug OPP'P"... regulär ist,
d. h. daß jede Sehne [OP'], [PP"] usw. parallel zur Tangente in P
bzw. P' usw. ist. Zum Beweise überzeuge man sich durch eine kleine
Rechnung erstens, daß die Geraden [RP], [QP], [R'O] nahe durch
einen Punkt gehen, d. h., daß es einen Kegelschnitt- also Hyperbel-
bogen gibt, der nahe durch die Punkte OPP' geht und dort die
Tangenten [QR], [RR'], [R'Q] hat. Durch affine Transformation
(bzw. Parallelprojektion) geht dieser Hyperbelbogen in einen Bogen
einer gleichachsigen Hyperbel über. Bei einer solchen ist aber
3
J+i Approximierung des Segmentes von unten, also am besten,
wenn J und ihre Maxima annehmen; das geschieht bei der an-
gegebenen Wahl der Zwischenpunkte. Bei elliptischen Ovalbogen gibt
dieselbe Wahl der Zwischenpunkte aus denselben Gründen die
schlechteste Annäherung; also die beste, wenn man statt der arith-
metischen die harmonischen Mittel nimmt.
3
Um auch für die Rektifikation mittels der Formel U+
u die
beste Wahl der Zwischenpunkte anzugeben, übertrage man die für die
Inhalte gefundenen Ergebnisse auf die Kugeloberfläche (oder Nicht-
Euklidische elliptische Ebene). Alsdann gehe man zur Polarfigur
über, wobei die Inhalte den Bogenlängen entsprechen, den eingeschrie-
benen die umgeschriebenen Polygone, der Formel J+i die
3
1) Hyperbolische bzw. elliptische Bogen sind solche, von denen je 5 Punkte
auf einer Hyperbel bzw. Ellipse liegen.