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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Eine analoge Formel kann man für die Rektifikation ableiten.
Aus y ax + bx³ + cx²¹² + ·· folgt zunächst:
=
==
y' = 2ax +3bx² + 4cx³ + · · ·,
also:
x
OP
- √
√1+ y²² dx:
Ferner wird:
und:
y² d x = x + } a²x² + { ab x¹ + (ac + 2 b² — a¹) x² +····
1
10
'+
0P = √x²+ y² = x + ½ a²x³ + abx¹+ (ac + ½ b².
(ac + b² — — a³ ) x² + · · ·,
-
OR + RP = (x − 1 ) + j; V1 + y'³
-
also:
OP
=
oder:
5
= x + a² x³ + ab x¹
+ (3ac— a¹ + 3/2 b²) 25
+ · · ·,
+(-
15
ac b2
+ +
15
a¹
x5 +
60
OR+RP 20P
OP
3
OR+RP+20P
3
(Lambert).¹)
Für Kreisbogen ist dies natürlich die Snelliussche Formel.
Lambert prüft die Genauigkeit der Formel, indem er den Krüm-
mungskreis an der betrachteten Stelle als Einheit und die Total-
krümmung gleich 5°, 10°, 15°, 20° nimmt; er findet bzw. die Fehler;
0,000 000 0
0,000 000 5
0,000 003 9
0,000 016 5.
Aus:
OP÷
3
PP'
.
ORRP 20P
PR'+R'P'+2 PP'
3
"
P'R''+ R″P”+ 2 P´P"
3
P'P"
folgt allgemeiner:
0... P.
Un + 2 un
3
wenn
un
OP + PP' + P'P" +
•
+ P(n−1)P(n),
gesetzt wird.
-
U₁ = OR + RR' + R'R" +
1) Beyträge II, p. 258.
+R(-1)P(n)