Kapitel III. Mechanische Quadratur und Rektifikation.
207
eine näherungsweise Rektifikation und Quadratur von Kreisbogen und
-segmenten, aber auch, wie wir sehen werden, von beliebigen Bogen
und zugehörigen Segmenten geliefert wird.
Wir wollen die allgemeinsten Formeln dieser Art zunächst für
den Kreis herleiten, und zwar für den Fall, daß man nur zwei Poly-
gone benutzt.
Verwendet man die Reihenentwicklungen, die wir später (sechster
Teil, Kapitel IV) ableiten werden:
X
sin x
= x
+
6
x3
tg x
x +
+
3
und die Formeln:
Un
2n sin
x
2n
Un
=
in
Jn
2n tg
--
n
X
2n
x
sin
n
= n tg
X
2n 9
Jn
wo un, Un in J Umfänge
und Sektoren - Inhalte von
regulären, dem Kreisbogen x
vom Radius Eins ein- bzw.
umbeschriebenen Polygon-
zügen sind,
so findet man leicht die folgenden Approximationen für den Bogen x:
un
m² Um + 2 n² u
m² + 2n²
"
m² um
m²
n² un
nº
n² Un
9
m² U
m²
m
n²
und für den Sektor bzw. das Segment:
2 m² Jm+n² in
2 m² + n²
"
m² im
— n²i,
m² — n²
9
m³ Jm — n² Jn
m² — n²
"
und zwar geben gleichartige Polygone (beide ein- oder beide um-
beschrieben) untere, ungleichartige (das eine ein, das andere um-
beschrieben) obere Näherungswerte. Es handelt sich also stets um
arithmetische Mittel, in denen jedes Polygon ein dem Quadrat seiner
Seitenzahl proportionales Gewicht bekommt, und überdies bei ungleich-
artigen Polygonen für den Umfang die einbeschriebenen, für den In-
halt die umbeschriebenen doppelt ins Gewicht fallen.