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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Zu anderen Kategorien gehören z. B. die Formeln:
3 tg x
2
X-
3+tg²x²),
die als Anfang der Kettenbruchentwicklung
tg x
x
1
1 + — tg² æ
3
4
1+
tg² x
15
+
anzusehen ist, ferner:
sin x
X
-
COS X
1
-
6
-
(1
-
tg x
-
x
3
=
x21
420/
sin x
x
-
--
(1 — 22 )
15
COS X -
1
--
deren drei letzte von Hill 2) herrühren.
x
15
-
60
Auch Gauss) hat eine ähnliche, sehr genaue Formel:
-
x sin x
2
1+ sin2
35
X
4
4
x
x
sins
3
2
sin 2
7
5
bis zu x
=
26°54′ ist der Fehler in der siebenten Stelle der Log-
arithmen gleich 0, bis x = 40º ist er höchstens 2, bis 45° erst 11.4)
Kapitel III.
Mechanische) Quadratur und Rektifikation.
Kreisbogen, -sektoren und -segmente.
Aber die Bedeutung der Huygensschen Formeln liegt weniger
in dieser Goniometrie kleiner Winkel als darin, daß durch dieselben.
1) Olbers in Zachs monatl. Korr. 16 (1807), p. 539.
2) Arch. d. Math. 1 (1841), p. 191. Dort noch einige weitere Formeln.
3) Gauss, Werke VII, p. 299; noch genauere Formeln derart s. VIII, p. 128.
4) Ähnliche Formeln gaben F. Giudice (Periodica di Mat. da Besso, Roma
1888, III, p. 1), E. Lampe (Mathesis (2) 7 p. 129, 153, 183).
5) Das Wort,,mechanisch" wird in dieser Verbindung in einer sonst nicht
mehr üblichen Bedeutung gebraucht, nämlich in der Bedeutung ,,approximativ“.
So unterscheiden die älteren Mathematiker (z. B. Huygens, Vieta, Dürer) Nähe-
rungskonstruktionen als ,,mechanice" von den genauen, die als ,,demonstrative"
bezeichnet werden.