Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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die den beiden Huygensschen Formeln analog sind, nur, daß die arith-
metischen durch die harmonischen Mittel ersetzt sind. Von Formeln,
die x näherungsweise durch goniometrische Funktionen von x aus-
drücken, sind später noch eine ganze Reihe aufgestellt worden; ins-
besondere in der Geodäsie und Astronomie, wo eine Art Goniometrie
kleiner Winkel erforderlich wird. So gibt Mollweide ¹) die Formel:
x
sin x
16
3 cos x2 sec x
15
"
die unter den Gregoryschen enthalten ist (s. S. 194, vorletzte Formel);
man kann ihr wieder die analoge zur Seite stellen:
sin x
3214 cos x sec x
.
x
45
Mit diesen acht Formeln sind alle diejenigen erschöpft, durch
welche
x
sin x
oder
sin x
х
für kleine x durch eine lineare Funktion von
cos x und secx approximiert wird.
Von dreigliedrigen Formeln, die also einer Approximation eines
Bogens durch drei Polygone entsprechen, findet sich bei Lambert 2)
noch:
X =
6
13
24
1
16
tg x + sin 2x - sin 4x,
die ebenfalls unter den Gregoryschen enthalten ist.
Die Formel von Orontius Finäus:
x= Vsin x tg x
•
ist heute als die Maskelynesche bekannt.) Sie wird benutzt bei
logarithmischen Rechnungen, wenn kleine Winkel vorkommen. Sie
findet sich auch nach Maskelyne wieder in verschiedenen Formen,
ohne daß die Übereinstimmung mit der alten Formel von Orontius er-
kannt wurde, z. B. bei Wolfers¹), der das erste Korrekturglied hinzufügt:
tg x
x
=
sec3
x +
x4
45
1) Zachs monatl. Corr. 16 (1807), p. 18.
2) 1. c. p. 273.
3) Nevil Maskelyne (1732-1811) teilt sie mit in der Einleitung seiner
Ausgabe der Tables of Logarithmes von Michael Taylor, London 1792, Probl. II,
p. 21/22. Begründet (durch Reihenentwicklungen) wurde sie erst durch Tralles,
Abh. d. Berl. Ak. 1804-1811, p. 17. Auf dieser Formel beruht das Rechnen
mit den Zahlen
-
2
S
=
3
lg cos x、
T:
=
lg cos x
3
für kleine Winkel.
4) Arch. d. Math. 30 (1858), p. 339; vgl. auch Matzka, ib. 13 (1849), p. 138.