Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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Newton (1643-1727) und Lambert (1728-1777).
Nach Erfindung der Potenzreihen für sin x und cos x war es
für Newton) natürlich leicht, die Formel:
x
sin x
14 + cos x
9 + 6 cos x
zu finden; diese auch von Lambert 2) bewiesene Formel ist die beste
х
sin x
1
Approximation von durch eine lineare gebrochene Funktion von
COS X. Lambert leitet daraus folgende Näherungsrektifikation her:
Man verschiebe den Snelliusschen Rektifikationspunkt um
sin vers x
nach dem Mittelpunkt des Kreises hin, so ergibt sich die Proportion:
5
6
-
sin vers x.
t:
sin vers x
1
5
(3- sin vers x)
0
x sin x: 3
=
x
Folglich :
15
---
(1. cos x)
=
sin x
15 - 6(1
cos x)
d. h.:
tx.
14 + cos x
9 + 6 cos x
Nach E. Lampe ³) gibt die Newtonsche Formel x bis zu den
Winkeln von 45° höchstens mit einem Fehler von 19′,5.4)
Die Formeln:
sin x
Ꮖ
2+ cos x
3
(Nikolaus von Cusa),
sin x
9+ 6 cos x
(Newton)
X
14 + cos x
sind, wie wir sehen werden, die beiden ersten Näherungswerte einer
Kettenbruchentwicklung von
sin x
X
sin x
deren dritter ist:
"
x
5148 cos x + 6 cos²x
80+25 cos x
1) Opera ed. Horsley I, p. 323. Brief Newtons an Leibniz vom 13. Juni 1676.
2) Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung.
Berlin 1765, II, p. 312.
3) Mathesis 2, S. VII, 9-10, 1897, p. 129, 153.
4) S. auch Wilh. Voll, Versuch, die Länge eines Kreisbogens ohne Hilfe
einer Sinus- oder Sehnentafel zu bestimmen. Berlin 1824.