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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Weiterhin folgt:
also:
CR: CG CR2: CF2 CR2: CE,
=
-
-ER RP: ER EP-RP: EP,
=
·
=
BC: CG2CR: CG2PR: PE PR: PA,
BC-CG: GC PR-PA: PA,
=
BG: GCAR: PA - AR: AE RC: EK.
=
Setzt man dies in die Ungleichung: BR³: 3 > BG: GC ein,
so geht sie über in:
CR: > RC: EK;
daraus folgt, da ja > EC war:
ECSRC. EK.
Das ist die Formel des Orontius Finäus.
(10)
Huygens hat durch ähnliche Betrachtungen wie die obigen noch
bessere Approximierungen gefunden, nämlich:
Quq n + 3 un
3
4 u snu n U z nun
Bogen Un
+
und
Bogen
Uz n
+
10
3
•
(Ug n
+ (2 u₂n + 3 un)
9
U s — uz
-un) =
2 un +3 un
Mit diesen Formeln gewinnt Huygens aus u, und и für л die Grenzen
3,14181... und 3,14135..., und aus U30 und U60 die Grenzen
3,1415926538... und 3,1415926533....
Überhaupt ist die Anzahl der richtigen Stellen, die das n-Eck
und das 2n-Eck liefern, etwa 6 log n, also dreimal so groß, wie bei den
Formeln von Snellius und Nikolaus von Cusa; oder die Huygensschen
Formeln liefern durch das n-Eck so genaue Grenzen wie das Archi-
medische Verfahren durch die n³-Ecke. Dasselbe gilt von den drei-
gliedrigen und das Entsprechende von den mehrgliedrigen Formeln
Gregorys (s. o.), die überdies den rechnerischen Vorzug haben linear
zu sein.
Die beiden letzten Huygensschen Formeln sind offenbar Approxi-
mationen von
durch Formeln der Art:
und
х
sin x
X
sin x
x
sin x
a+b cos x + c cos² x
e+fcos x
a+b cos x + c cos x + d cos³ x
e+fcos x + g cos x
"
aber es sind, wie sich zeigen läßt, nicht die besten Formeln dieser Art.