Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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Also wegen (6):
Bogen EC <KC+
EF,
(7)
welches die Snelliussche Formel ist.
Daraus folgt allgemeiner durch Anwendung auf die nten Teile
eines Bogens und Addition:
1
3 n
2
3
Bogen <U+",
(7a)
Diese Formel für n = 12 und (3a) für n = 6 liefern Huygens die
-Grenzen:
π-
3,1411... und 3,1423..,
für die Archimedes die 96-Ecke brauchte. Ebenso Formel (7a) für
60, (3a) für n = 30, die Grenzen:
n =
3,1415917... und 3,141594...
und für n
-
10800 bzw. 5400 die Grenzen:
3,141592653589792... und 3,141592653589794...,
während Ludolf hieraus nur:
gefunden hatte.
3,1415726... und 3,1415927 ...
Zum Beweis der Formel des Nikolaus von Cusa knüpft Huygens
an die Trisektionsfigur an. Zieht man in derselben noch durch den
Mittelpunkt C die Parallele HL zu EDF, so ist:
BG
=
GL+LB
= 2DK+LB.
Nun ist nach (7):
2
DK +
LB> AH,
E
3
1
und da ÁH
=
FB ist:
2DK+LB> FB,
folglich :
H
Ferner sei in der folgenden Figur:
Dann ist:
BG> BF.
(8)
AH = AE.
=
*
ACAO 1 und
=
* AHE HEA,
* HEA+ KEB=1R,
* AHE+HKB = 1 R,
G
L
B