Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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isn
1
2
Ugn
1
2
den Sektor i = 1, den Kreissektor = Bogen, so er-
n
hält man
Bogen > U-1
Иг
3 n
un
n.
(3a)
Analoge Betrachtungen stellt Huygens für umbeschriebene Polygon-
züge an. Da beweist er zunächst den Satz: „Ein Kreissegment ist
kleiner als zwei Drittel des Dreiecks, welches die Sehne des Segments
zur Basis hat und dessen Schenkel das Segment berühren."
Zum Beweise ziehe man in nebenstehender Figur noch die Linie
FG, welche das Segment in dem Scheitel berührt; dann ergeben
sich folgende Ungleichungen:
EF> FB oder > AF,
E
also:
2EF > AE > 2FA.
Hieraus:
▲ FEG>AEC
und
▲ABC < AEC,
also:
K
D
ebenso:
▲FEG > ABC,
▲HFK>½-½ ▲AJB usw.
2
Folglich, durch Summierung aller dieser Ungleichungen:
d. h.:
also auch:
1
▲AEC - Segm ABC>
Segm ABC,
(4)
<
(4a)
3
Segm ABC < AEC
Sektor ABCO AEC + ACO.
Nunmehr geht Huygens vom Dreieck wieder zum n-Eck über,
indem er sich den Kreisbogen
in n gleiche Teile geteilt denkt,
und auf jeden einzelnen Teil-
bogen den eben bewiesenen
Satz anwendet. Bezeichnet man
den Inhalt des Sehnenpolygons
4'
3'
3
0123...n mit i, den des Tangentenpolygons 01'2'3'... n'n mit
J, so ist: