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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
man sich in die durch die Sehnen AE, EB, BF und FC abgeschnit-
tenen Segmente wiederum in derselben Weise gleichschenklige Drei-
ecke einbeschrieben, in die dann übrigbleibenden abermals usw., so
erhält man:
Segm ABC ▲ABC + 2▲AEB +4▲ · · · +···
=
also:
1
> ABC(1+ 1 +
+···),
Demnach auch:
Segm ABC>ABC.¹)
3
Sektor ABCO > ABC + AOC.
4
(2)
(2a)
Vom Dreieck geht nun Huygens zum einbeschriebenen n-Eck
über und beweist den Satz: „Das Kreissegment ist größer als eines
ihm einbeschriebenen 2n-Ecks vermindert um des zugehörigen
einbeschriebenen n-Ecks."
1
3
3
Beweis: Der Inhalt des Polygons 0 1 2 ... 2n werde mit in,
der des Polygons 0 2 ... 2n mit i bezeichnet; dann ist:
Segm (02) + Segm (24) +
..
5
6
7
+ Segm (2n-2, 2n) = Segm (0,2n) — i„
nach (2):
4
> [▲ (012) +▲ (234) + · · ·]
3
2n
7
3
(ign-in).
Folglich:
Segm (0,2n) >24)
3
3
Dieselbe Formel gilt natürlich, wie schon oben bemerkt, auch für
die zugehörigen Sektoren. Setzt man ferner 2n für n und den Sektor
1) Diesen Satz beweist ganz ebenso schon Heron, s. dessen Metrica Prop.
XXXII, ed. H. Schöne (Leipzig 1903), p. 76/77; Heron gibt (Prop. XXX, XXXI)
als ältere ungenauere Regeln an:
1
Segment
=
BD (AC+BD) und
-
2
2
1 B D (AC + BD) + 1 AD².
14
2
•
Basis Höhe nach Archimedes für
3
Heron erwähnt, daß die Formel: Segm
das Parabelsegment genau gelte. Sollte ihre Anwendung als Approximation für
Kreissegmente nicht auch Archimedisch sein und vielleicht der bisher nicht
aufgeklärten zweiten Archimedischen Kreisrechnung (s. o.) zugrunde liegen?
2) Diese Formel hatte, wie wir sahen, auch schon J. Gregory (l. c. prop. XX),
s. G. Heinrich, Bibl. math. (3) 2 (1901), p. 77.