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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
was dasselbe ist, den Sektor AOB bezeichnet; aber solche Formeln
wie die des Snellius
X=-=-
in + 23 Jn
oder die von Gregory
4
х
n
n
--
13
3 n
gelten offenbar auch, wenn man statt der Sektoren die Segmente
nimmt, da dann beiderseits nur das Dreieck AOB wegfällt; dann
bedeuten natürlich i, J usw. die Segmente der Polygonzüge. Diese
Formeln gelten dann auch für beliebige kleine Bogen, da man sie
durch Kreisbogen approximieren kann (s. u.). Von den arith-
metischen Mitteln geht man dann (s. o.) zu den harmonischen und
geometrischen Mitteln über, die also auch für Segmente und auch
allgemein gelten.
Gregory fügt zu diesen Formeln aber noch eine ganze Reihe
analoger¹) hinzu, und zwar gleich ganz allgemein für eine nach
dem Archimedischen Algorithmus (s. o.) gebildete Größenreihe A, B,
C, D, E,... Ist Z der Wert, gegen den die Reihe konvergiert, so
gibt Gregory Formeln der Art:
Ꮓ
3A2B16 C
15
(bzw.
s. u.),
A-2B16 D
Z
15
"
Z4+8C+8 D
15
"
Ꮓ
Z
-B+4C+ 12 D
15
- 5 A-2B + 48 C + 64 D
105
usw.
bis zu neungliedrigen Formeln; und insbesondere noch für A = sin x,
B = tg x, C = 2 sin, D = 2tg,... Formeln, wie:
X:
x
22 A+B+96 C
75
3A16C 2 D
15
56 A
-
X
"
"
B320C 52 D
315
usw.
Die angegebenen Zeichen gelten in den obigen Formeln, wenn
bei A B die Größe C das harmonische, oder bei AB die Größe
1) Exercitationes geometricae, London 1668, prop. XXI, p. 1. Appendicula
ad veram Circuli et Hyperbolae quadraturam.