Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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Genauer ist, wie wir später sehen werden:
x
d = 2 cos
oder einfacher das Stück, um das der approximative Trisektionspunkt
nach rechts zu verschieben ist:
2
-
2 d=
10
sin vers x,
wie später bei Newton und Lambert (s. u.).
Die Figur, welche Snellius zur Herleitung der beiden Formeln
benutzt, und sein Ausdruck,limes trisectionis" (a. a. O., S. 44) für
den Punkt P läßt deutlich erkennen, daß er dabei an die alte Tri-
sektionsfigur der Griechen anknüpft. Wenigstens ist dies wahrschein-
licher, als daß er durch eine Betrachtung des Philipp von Landsberg
hierauf geführt wurde.¹) Dies ist die folgende:
Ist in nebenstehender Figur
OE gleich des Radius,
n
1
CD
=
=
des Quadranten,
n
E
x =
so ist DFx.
Dieser Satz ist wiederum nicht streng be- 0
wiesen; er liefert für eine Näherungsdarstellung, die aus der
Proportion folgt:
woraus
cos x: sin x
1
n
1:x
n
n sin x cos x
-
n cos x
(3)
folgt. Diese Formel ist in doppelter Beziehung von ganz anderer
Art als die bisher betrachteten: Nämlich erstens leistet sie nicht wie
jene eine Näherungsrektifikation eines beliebigen Bogens x, und andrer-
seits haben die früheren Formeln die Eigenschaft, um so genauer
richtig zu sein, je kleiner der Bogen x ist, während das bei der
Formel (3) nicht der Fall ist. So haben z. B. die Gleichungen:
Xx
=
sin x,
x =
tg x,
wie sich aus den später abzuleitenden Reihenentwicklungen ergibt,
drei Wurzeln gleich 0; (die übrigen sind bei der ersten Gleichung
imaginär, bei der zweiten reell); und die Gleichungen
X
=
3 sin x
2+ cos x
2 sin x + tg x
X =
3
1) Wie v. Braun mühl vermutet, Gesch. d. Trig. I,
p. 242.