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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
In dieser Formel ist, wie Snellius nicht streng beweist, das
Zeichen durch das Zeichen zu ersetzen.
Man kann diese beiden Formeln von Nikolaus von Cusa und
Snellius in den einen Ausspruch zusammenfassen: der Bogen ist
nahezu gleich dem arithmetischen oder auch dem harmonischen Mittel
zwischen sin x und tg x, mit dem Gewichtsverhältnis 2:1 (s. S. 81)
und zwar etwas kleiner als das harmonische, etwas größer als das
arithmetische Mittel.
-
Wendet man die Formeln auf die Berechnung von л an, so findet
man schon für n 6, woraus Archimedes nur die Grenzen 3 und
3,464 erhalten hätte, die viel engeren Grenzen: 3,14022 und 3,14160,
die noch enger sind als die von Archimedes aus den 96-Ecken her-
geleiteten. Die 96-Ecke liefern Snellius aber die Grenzen
3,1415926272... und 3,1415928320...,
und 34 Stellen erhält Snellius mit den 230-Ecken, während Ludolf
daraus nur 14 erhalten hätte. Grienberger ¹) berechnete nach der
Snelliusschen Formel 39 Stellen. Überhaupt liefert die Archimedische
Begrenzung sin x < x < tg x etwa [2log n - 1,19] richtige Dezimal-
stellen, die Snelliussche etwa [4log n -0,276], also etwa doppelt so
viel, so daß die n-Ecke bei Snellius ein ebenso genaues Resultat
geben wie die n²-Ecke bei Archimedes. Benutzt man nämlich die
später abzuleitenden Reihen:
sin x = X
-
x3
+
6
X5
120
COS X =
1
X4
+
24
so findet man den Fehler der Formel:
π
π = N sin
n
für großen etwa gleich
π
6n
also stimmen und n sin auf etwa
π
n
πο
- log Stellen überein, d. h. auf etwa 2log n - log
6n2
findet man für die Formel:
3
6
log; ebenso
π
3 sin
η
π
.
π
2+ cos
n
5
den Fehler
π
180 n¹
also etwa 4log n
πο
log 180 richtige Stellen usw.
Snellius nimmt auch den wahren Trisektionspunkt als Rekti-
fikationspunkt, d. h. er nimmt in der Gleichung:
statt d
-
-
Ꮖ sin x
1 + Ꮄ
.
cos x+8
2, wie Nikolaus von Cusa, d = 2 cos
1) Elementa Trigonometriae, Rom 1630.
X