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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Kapitel II.¹)
Approximierung durch Mittelbildung.
Nikolaus von Cusa (1401-1464). ²)
Bezeichnet man in der obigen Ungleichung (S. 178)
AB < AB < AD + DB,
AC = ½ AB mit x, so wird dieselbe:
sin xx tg x,
d. h. der Quotient:
sin x
1+8
cos x + d
ist für 80 größer als x, für d
kleiner als x.
Es scheint, daß Nikolaus von Cusa durch eine ähnliche Über-
legung zu der Frage geführt wurde: Wo liegt x zwischen sin x und
tg x, oder für welche Werte von d ist jener Bruch genau gleich x?
Indem er für den halben Zentriwinkel des Quadrats und des
Sechsecks wählt, findet er durch Rechnung nahezu: 82 und ver-
mutet nun, daß allgemein d = 2, also:
X
3
sin x
2+ cos x
ist. Natürlich gilt diese Formel nur näherungsweise. In der ein-
geführten Schreibweise wäre sie folgendermaßen zu schreiben:
Ꮖ
3
sin x 2+ cos x
(1)
Man kann diese Formel als durch Nikolaus von Cusa empirisch,
d. h. numerisch bewiesen ansehen. Einen deduktiven Beweis, bei dem
es also auf das Zeichen oder ankommt, versuchte zuerst Snellius,
=
=
indem er dabei den Bogen x mit der Strecke
3 sin x
2+ cos x
verglich.
Sein Beweis ist nicht einwandfrei und ein Beweis vielleicht auf diesem
Wege überhaupt nicht zu erhalten. Streng bewiesen, und zwar durch
Vergleichen von Flächen wurde die Formel von Huygens, wobei sich
Snellius' Behauptung bestätigte, daß darin das Zeichen durch zu
ersetzen ist.
1) Im folgenden bedeutet etwas größer als, etwas kleiner als,
nahe gleich.
2) De mathematica perfectione, Opera (Paris 1514, Basel 1565).