Kapitel I. Goniometrische und zyklometrische Approximationen.
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so ist:
C: E:G:J: 0:2Q: 4S: 8U:
... =
usw.
Man braucht hier nur Ai, BJ, Cin usw., ferner 2 L = 1,
C
also M
B
π
= COS so setzen, so erhält man:
n
0 · is = 11 ix
C
als Grenzwert der Ausdrücke:
1
2
•
n
1 M
V
-
V
-
-
1
1
2
1
M
+
M
usw.
Gregory hatte auch gefunden¹), daß der Archimedische Algorith-
mus ohne weiteres zur Berechnung von Ellipsen- und Hyperbel-
sektoren benutzt werden kann, indem man unter regulären Polygon-
zügen PP₁P,... solche versteht, bei welchen die Tangente in P
zur Sehne P-1P+1 parallel ist. Für die Ellipse ergibt sich uns
heute die Übertragung der Sätze vom Kreise x²+ y² = a² auf die
x² y2
Ellipse + 1 ohne weiteres durch die affine Transformation:
a2 b2
xx,
b
a
I a
Y
y,
wobei Flächenverhältnisse, also alle homogenen Relationen zwischen
Flächen erhalten bleiben; die affine Transformation kann man auch
durch Parallelprojektion versinnlichen: der Kreis wird orthogonal in
eine Ellipse projiziert, wenn seine Ebene gegen die Projektionsebene
um den Winkel arc cos geneigt wird. Für die Hyperbel würde
die entsprechende affine Transformation den Durchgang durch das
Imaginäre erfordern. Aber zum Beweise des einzig notwendigen
Satzes: ein Kegelschnittsektor AOB wird durch den Radius OC
halbiert, wenn die Tangente in C parallel zur Sehne [AB] ist, braucht
man nur, was offenbar stets möglich ist, die Figur orthogonal so auf
eine andere Ebene zu projizieren, daß der Winkel zwischen [OC] und
[AB] in einen Rechten projiziert wird. Denn dann wird [OC] Achse
des neuen Kegelschnitts, und dessen Sektor AOB liegt symmetrisch
zur Achse, wird also durch OC halbiert.
1) Vera circuli et hyperbolae quadratura. Patavii 1667.