Kapitel I. Goniometrische und zyklometrische Approximationen.
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sei. Diese beiden indischen Werte finden sich, wie auch der Archi-
medische und der Ptolemäische bei den Arabern, z. B. Muhammed
ben Musa ¹); die Chinesen haben die Werte 3, 3,14 (Liuhway,
650 n. Chr.)); die Japaner 3, 3,16, 3,14, 3,1415926, letzterer 1663
den 215-Ecken gewonnen; 3) Purbach 3,1416¹), Regiomontan
3,14243.5)
aus
Vieta rechnet einerseits 6) nach Archimedes bis zu 6.216 und
U 216 und findet zwischen 3,1415926535 und 3,1415926537.
Andrerseits knüpft er an Antiphon an und will möglichst einfach von
in (ohne J) zu i kommen; das erreicht er ähnlich wie Arya Bhatta
und Gregory (s. S. 186) vermittels :
ign
1
i on = √1-
S 2
n
en
Aber er geht darüber hinaus,
die Reihe der On 2n
indem er von den s, absieht und nur
ins Auge faßt; hier ist:
1
Q2n = √ 1/2 + 1/2 (n>
und daraus ergibt sich ihm, von i
2 ausgehend 7):
i,
is i8 116
-
d. h.:
π
2
-
Π
i 116 12
also
π
=
9498916
+
2
↓
·
+
2
2
V
+
usw.8),
damit war wohl die erste gesetzmäßige Darstellung von gefunden
(1593).
Auf dem Archimedischen Wege berechnete Adrian van Romen
(1593) auf 15 Stellen aus den 15. 224-Ecken. Ludolf von Cöln
1) The algebra of Muhammed ben Musa, ed. F. Rosen, London 1831,
p. 71 ff.
2) K. L. Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen, Crelles J. 52 (1856), p. 59.
3) T. Hayashi, Bibl. math. (3) 3 (1902), p. 273.
4) Im Appendix zu De Triangulis von Regiomontan, Basel 1541, p. 131.
5) In seiner Korrespondenz mit Nic. von Cusa, De quadratura circuli, Nürn-
berg 1533.
6) Canon Mathematicus seu ad Triangula, Paris 1579, p. 56, 66.
7) Vietae opera ed. Schooten, Leyden 1646, p. 400. Vgl. auch Snellius
Cyclometricus 1621, prop. I u. II.
8) Über die Konvergenz dieses
Produktes 8. Rudio, Schlömilchs Ztschr.
36 (1891), Hist.-lit. Abt., p. 139 und weiter unten, wo wir die allgemeinere
Eulersche Formel betrachten werden. (Vgl. auch Seidel, Crelles J. 73 (1871)
p. 273).