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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
nunmehr zu jedem in Gradmaß gegebenen Bogen den Sinus usw.
mit großer, wenn auch nicht beliebig großer Annäherung und um-
gekehrt finden.
Verfolgen wir nun den zyklometrischen Gesichtspunkt, der an
die Einschließung
sin xx tg x
anknüpft. Es kam zur Berechnung von nur darauf an, den sin
und tg eines möglichst kleinen sonst beliebigen Winkels möglichst
genau zu finden. Die Römer haben diese Frage nicht gefördert;
ihnen genügte der Archimedische Wert 3, der oft¹) durch den un-
genaueren 3% ersetzt wird. Vermutlich wurde der Wert 3 nicht
nur der einfacheren Rechnung halber bevorzugt, sondern namentlich
auch, weil er eine einfache Quadratur erlaubt: die Diagonale des
flächengleichen Quadrates ist nahe gleich des Durchmessers (s.
S. 177).) Gebert (um 1000) dagegen empfiehlt den ersteren als besser.”)
Arya-Bhatta (476 n. Chr.) berechnet nur die u (nicht die U₂)
bis zu 6.64 U384, aber nach der bequemeren Formel:
s = 2-√4 - 82,
10
8
so daß also л der Grenzwert der Ausdrücke ist:
284 = 2√2, 4sg = 4√2-√2,
8816-8V2-V2+√2,
488
16832
4V
-
16 / 2−√2 +V2 + √2,
=
usw.; er findet
3927
π =
1250
=
3,1416.4)
Bei solchen einseitigen Annäherungen erhält man etwa soviel richtige
Stellen für л, als in ug und u, übereinstimmen.
377
120
Ähnlich Bhaskara
(1150), der außerdem den Ptolemäischen Wert kannte. 5) Brahına-
gupta (650) schloß aus:
1 U12 = √9,65,
daß schließlich:
U21
= √9,81, 1 U₁ = √9, 86, 16 = √/9,87,
π= U∞ = √10
1) Z. B. bei Vitruvius Pollo (s. Cantor I, p. 462), später z. B. bei Charles
Bouvelles (s. M. Curtze, Jenaer Lit.-Ztg. 1876, p. 109).
2) Diese Quadratur hat auch A. Dürer 1. c., Bogen F, Blatt VI, Fig. 34.
3) Oeuvres ed. Olleris, Clermont 1867, p. 463.
4) Bija Gavita: or the algebra of the Hindus. By Edw. Strachey, London
1813. Leçons de calcul d'Aryabhata, L. Rodet, Journal asiatique 1879 (7) XIII,
p. 10, 21.
5) Algebra ... from Brahmagupta and Bhaskara, trans. by H. T. Cole-
brooke, London 1817 XII, art. 40, p. 87, 95, 308.