Kapitel I. Goniometrische und zyklometrische Approximationen.
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mäus umgehen mußte: nämlich die wirkliche numerische Auflösung
der Dreiteilungsgleichung:
sin x
4
3
1
sin³ x +
sin 3x
3
=
für x
1º. Sein Verfahren ist genau das, was wir heute als das
Newtonsche bezeichnen ¹): ist u ein Näherungswert für die Wurzel
der Gleichung f(u) = 0, u + ɛ der wahre Wert, so ergibt sich für
die Korrektur & ein Näherungswert aus der Gleichung f(u +ɛ) = 0,
die linear in & wird, indem man höhere Potenzen von & vernachlässigt.
Ulug Beg fand
1
crd 1º
=
Das gibt = 3,14157 ...
л
2
49
43
11
+ + + +
60 609 608 604 605
Um eine Sinustafel bis auf Minuten und Sekunden herzustellen,
konnte man zu den Dreiteilungen noch die Fünfteilungen hinzunehmen.
Das empfiehlt Fr. Vieta), und führten J. Bürgi (1552–1632)³) und
Pitiscus (1561) 4) wirklich aus; Bürgi und Vieta kannten die all-
gemeinen Winkelteilungsgleichungen und das Ulug Begsche Nähe-
rungsverfahren. Vieta berechnete sin 1' auf zehn Stellen richtig durch
eine bisher nicht aufgeklärte Interpolation zwischen sin und
225'
450'
256
sin deren Werte er durch Archimedische Halbierungen findet.
256'
Rhäticus (1542-1576) 5) wiederum vermeidet die Dreiteilung,
wendet vielmehr in ausgedehntestem Maße die Archimedischen Halbie-
rungen an. Er berechnet den Sinus für die Winkel
90°
2*
(k = 1, 2, 3,
9
43),
daraus nach dem Additionstheorem z. B. den von
α=
90° (25
28 211
=
213
29"59"331 37V58V18VII30VIII
der sich sehr genau zum sin 30" wie a: 30″ verhält, woraus sich erst
sin 30", dann sin l' ergibt usw. Ähnlich bestimmt er sin 5″ und
daraus die Werte des Sinus von 10 zu 10″.
Die Werke des Rhäticus und Pitiscus sind als Abschluß dieser
numerischen Entwicklung der Goniometrie anzusehen. Man konnte
1) Dasselbe wandten zur Ausziehung der Quadratwurzeln schon die Inder
an: 1. c. (S. 181 )), Kap. I, 6.
2) Opera ed. Schooten Lugd. 1646.
3) S. R. Wolf, Astron. Mitt. No. XXXI.
4) Trigonometriae libri quinque (Ed. 2) 1608.
5) Opus Palatinum L. V. Otho 1596.