Kapitel I. Goniometrische und zyklometrische Approximationen.
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formulierten Satze ¹): Von mehreren konvexen Verbindungslinien
zweier Punkte A, B ist die der Geraden [AB] nächste die kürzeste.
Aber beide Sätze sind zwar sehr einleuchtend, jedoch mit elementaren
Mitteln nicht streng zu beweisen; also ist es zweckmäßiger, die be-
sagten Ungleichungen auf dem Umwege über die Inhalte zu gewinnen.
Man kann ja aus J und J U folgern U, und ähn-
lich folgt aus л>ign und in
1
daß лu, ist.
π > un
2
-
1
=
2
2 n
< 124
1
u (wegen OACB = AB · oc),
n
Übrigens sind die Archimedischen Überlegungen sofort übertrag-
bar auf die Approximierung eines beliebigen Kreisbogens bzw. eines
beliebigen Kreissektors aus der zugehörigen Sehne oder Tangente;
dann bedeuten u, Un die Umfänge ein- bzw. umbeschriebener regu-
lärer Polygonzüge und i, J die Inhalte der zugehörigen Polygon-
sektoren. Z. B. für den Bogen PPP, ist
n
u₁ = PoP₂, U₁ = PT + TP₂,
µ₂ = P¸P₁ + P₁P₂, U₂=P¸T₁+ T₁T½ + T₂P2,
1
2
1
i=PP₂O, J= PTP₂O,
0 2
2
2
¿‚= иин0, J½=Р¸T₁T,Р₂0 usw.
1 2
1
2
Und dieselben Ungleichungen i„< Sektor < J
gelten auch für die zugehörigen Segmente, da
diese sich von den Sektoren nur um das Dreieck
POP, unterscheiden.
Po
Ꭲ,
P
P₂
Lo
Die zwei wesentlichen Gesichtspunkte der Archimedischen Kreis-
rechnung liegen erstens in der Einschließung, die wir heute schreiben:
sin x <x<tg x,
zweitens in den Formeln, welche den Übergang von in, Jn bzw. un, Un
zu in, Jon bzw. Un, Ugn bewirken z. B.:
2n
D
1) Elemente der Geometrie (deutsch von Crelle, 4. Aufl., Berlin 1844), p. 103.
Daß kein anderer ADB ein kürzester, also nicht länger als ACB sein kann,
folgt durch Ziehen einer Tangente ECF; dann
ist jedenfalls AECFB noch kürzer, mit Be-
nutzung des Archimedischen Postulats. Aber daß
nunmehr ACB der kürzeste ist, wie Legendre
schließen will, würde noch den Nachweis erfordern, E
daß ein Minimum für alle solchen den Kontur
ACB nicht schneidenden Konturen (auf derselben
Seite von [A B]) existiert; ein Nachweis, der mit einfachen Mitteln nicht streng
zu führen ist.
A
C
B
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