Fünfter Teil.
Numerische Approximationen.
Statt bei gegebenen Konstruktionsaufgaben, die mit gegebenen
Hilfsmitteln nicht lösbar sind, neue Konstruktionsmittel einzuführen,
kann man auch darauf ausgehen, die Aufgaben mit den bisherigen
Konstruktionsmitteln, aber nur näherungsweise aufzulösen.
Die Aufgaben, die am meisten Veranlassung zu Approximationen
gegeben haben, sind die Aufgaben der Würfelvervielfachung und der
Teilung und Rektifikation von Kreisbögen oder des ganzen Kreises.
In Beziehung auf das Hauptproblem der Rektifikation des ganzen
Kreises kann man drei Perioden unterscheiden.
In der ersten, von Archimedes bis zur Erfindung der Infinite-
simalrechnung, handelt es sich im wesentlichen nur um die nähe-
rungsweise Darstellung des Kreisumfanges als rationales Vielfaches.
des Durchmessers. Diese Art Approximationen wollen wir ,,nume-
rische" nennen. (Fünfter Teil.)
In der zweiten Periode wurde der analytische Charakter der
Zahl und der damit zusammenhängenden goniometrischen, zyklo-
metrischen, logarithmischen und Exponentialfunktionen erkannt, zu-
nächst nur in formaler Weise, indem man gesetzmäßige Darstellungen
dieser Größen fand. (Sechster Teil.) Dann aber, im 19. Jahrhundert,
auf Grund der gefundenen Darstellungen, erkannte man das eigent-
liche Wesen der Zahl, daß es nämlich eine transzendente Zahl ist.
(Achter Teil.)
Jede näherungsweise Darstellung der Zahl oder allgemeiner
der zyklometrischen Funktionen durch konstruierbare Zahlen bzw.
Funktionen liefert zugleich konstruktive Näherungsrektifikationen. Das
Entsprechende gilt für näherungsweise Darstellungen von Va durch
konstruierbare Funktionen von a, oder für solche Darstellungen von
(z. B.) cos durch konstruierbare Funktionen von cos a. (Siebenter
Teil.)
α
n