172 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
also:
§:n 1-5=x: y: 1,
ξ:η:1
2 = = x + iy
=
ξ+ίη 1+5
1-8 §-in'
=
ξ+ in
1-5
Jedem Punkte (§, 1, §) der Kugel wird die komplexe Zahl z =
zugeordnet. Einer Kreisverwandtschaft in der Ebene entspricht eine
solche auf der Kugel. Insbesondere sind Drehungen der Kugel Kreis-
verwandtschaften. Geht bei einer beliebigen Drehung der Kugel in
sich das Dreieck ABC in A'B'C' über, so folgt aus symmetrischen
Dreiecken, daß die sphärischen Mittellote der Bögen AA', BB', CC'
sich in zwei diametralen Punkten NS schneiden, so daß die Drehung
der Kugel eine Drehung um die Achse [NS] ist. Ist PQ ein Bogen
auf dem zu [NS] gehörigen Äquator, und 2. POQ der Drehungs-
winkel, so kommt der Punkt A nach A' offenbar auch durch Um-
wendung (d. h. Drehung um 180°) erst um [OP], dann um [0Q]:
Jede Drehung ist die Folge zweier Umwendungen.
Eine Umwendung um die Achse mit den Richtungskosinus p,
q, r wird durch
rz + (p + iq)
(p − iq) z -r
dargestellt. Denn diese Transformation ist erstens eine Inversion, da
sie mit der umgekehrten identisch, zweitens läßt sie die Punkte
(p, q, r) und (p,q, r) in Ruhe; und durch ihre Doppelpunkte
ist eine gerade Inversion eindeutig bestimmt, wie die Involution auf
der Geraden. Setzt man die beiden Umwendungen
2
r₁ z + (p₁ + iq,)
1
und z
--
| (P₁ — iq₁) z — 1₁
r₂ z + ( P₂ + iq₂)
(P₂ — i q₂) z
-
zusammen, so erhält man:
2
-
(( P₁ P₂+ I J ½ + r₁ r₂) + i ( P₁ q₂ — P₂ q₁ )) z + i ( q₁ r. — r₁ q₂) + (r, P₂ — r₂P₁)
(i (q₁₂ — r₁ q₂) —
(
· ´
-
2
(†₁ P₂ − ˜½ P₁ )) ≈ + (( P ₁ P₂ + q₁ q + r₁ r₂) — i ‹ P₁ q₂ — PI₁))
oder
(cos
+ ir sin ç) z + i sin î (p+iq)
i sin
(pig) z + (cos q - ir sin q)'
wenn man
-
P₁P₂+9192 + r₁₂ = cos,
(912—12)
=
p sin o,
(r₁P₂-r₂P₁) q sin ф
(P₁₂-P241) = r sin 9,
setzt, so daß also q der Winkel der Umwendachsen, der halbe
Drehungswinkel der Drehung und p, q, r die Richtungskosinus ihrer
Drehachse sind.¹)
1) Ähnliche elementare Herleitungen gaben A. Schönflies, Deutsch. Math.
Ver. 18 (1909), p. 456 und J. Wellstein, ib. 19 (1910), p. 169.