Kapitel VI. Konstruktionen im Raume.
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behandelt z. B. H. Schröter ¹); besondere Probleme dieser Art auch
R. Heger), F. Unferdinger³) u. a.
Von projektiven quadratischen Aufgaben erwähnen wir noch die
Konstruktion der zwei Transversalen zu vier gegebenen Geraden ¹),
von metrischen linearen die Konstruktion des kürzesten Abstandes von
zwei gegebenen Geraden. Projektiv kubisch ist die Konstruktion der
Doppelpunkte einer räumlichen Projektivität, metrisch kubisch die
Konstruktion der Achsen einer Fläche zweiter Ordnung. Weitere
Aufgaben beziehen sich auf die Schnittpunkte von drei Flächen zweiter
Ordnung oder von einer solchen mit einer kubischen Raumkurve. Es
entsteht die Frage, welche Gleichungen achten bzw. sechsten Grades
auf diese Weise lösbar sind.
Wenig beachtet sind die Konstruktionen auf der Kugel ge-
blieben.) Da auf der Kugel die Anwendung des Lineals wegfällt,
hat man hier das eigentliche Gebiet der Mascheronischen Konstruk-
tionen vor sich. Man kann diese Konstruktionen danach unterscheiden,
ob sie die Übertragung auf die Kugel zulassen oder nicht. Die
ersteren sind diejenigen, welche überhaupt Inversionen zulassen. Diese
,,inversiblen" unterscheiden sich von den anderen gerade so wie die
projektiven von den affinen.
Es kommt bei dieser Unterscheidung darauf an, ob in der Auf-
gabe eine Beziehung zu dem unendlich fernen Punkt vorkommt. In der
Mascheronischen Ebene gibt es nämlich nur einen unendlich fernen
Punkt, weil durch Inversion jedem Punkte ein Punkt entspricht, also
auch dem Mittelpunkt des Inversionskreises. Das ist auch in Über-
einstimmung mit der Auffassung der Kreisverwandtschaft als einer
komplexen Projektivität auf einer Geraden (S. 57): auch im kom-
plexen Zahlengebiet gibt es nur eine unendliche Zahl.
Insbesondere wird die Einheitskugel
´§² + n² + ¿² = 1
durch Inversion abgebildet auf ihre Äquatorebene
rade, die durch den Pol (§ == 0, ?=1) gehen.")
Punkte (x, y) der Ebene dann der Punkt (§, 1, 5)
gibt die Figur sofort:
= 0 durch Ge-
Entspricht dem
der Kugel, so
1) Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter
Ordnung (Leipzig 1880), p. 167, 239, 252, 462. Über die Literatur s. Bögehold,
Hist.-krit. Darst. d. Konstr. d. Fl. 2ter Ord. aus 9 Punkten, Jena 1898.
2) Progr. Dresden 1881.
3) Archiv d. Math. u. Phys. 48 (1868), p. 118.
4) S. Kötter 1. c., p. 76.
5) Über die Malfattische Aufgabe auf der Kugel und auf Flächen zweiter
Ordnung s. Steiner 1. c.
6) Stereographische Projektion des Ptolemäus, nach Synesius von Cyrene
schon Hipparch bekannt; s. E. Kötter 1. c., p. 93.