170 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
tionen in der Ebene zurückgeführt werden. Jede hierzu geeignete
Methode muß zwischen den Punkten des Raumes und geeigneten
Elementen (z B. Punktpaaren) der Ebene, eine eindeutige Be-
ziehung herstellen. Nachdem eine solche „Abbildung" gewonnen
ist (z. B. durch Zentralprojektion von zwei Zentren 01, 0₂ aus
auf dieselbe Ebene) ist es gleichgültig, ob man eine räumliche
Konstruktion als räumliche oder ihre Übertragung in die Ebene be-
schreibt.
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Bei den Konstruktionen im Raume ist jedenfalls als konstruktives
Postulat zu den ebenen hinzuzunehmen, daß man die Schnittpunkte
von Geraden und Ebenen finden könne. Es ist nach einer Behaup-
tung G. Haucks¹) nicht möglich, den Schnittpunkt einer Ebene (ABC}
und einer Geraden [DE] durch bloßes Ziehen von Geraden zu er-
halten. Man reduziert die Anwendung dieses neuen Postulates auf
ein Minimum, nämlich auf das Aufsuchen von Schnittpunkten nur
von Geraden der Punkte 0, und O, mit der Projektionsebene, in dem
man diese Art darstellende Geometrie anwendet. Und bei den
metrischen linearen Konstruktionen kann man das räumliche Postulat
ganz vermeiden. Um den Schnittpunkt von (ABC} mit [DE] als
Schnitt bloß von Geraden zu finden, fälle man von D und E die
Lote auf (ABC); die Verbindungsgerade ihrer Fußpunkte trifft [DE]
in dem gesuchten Punkte; und die Fußpunkte selber ergeben sich so:
man fälle in {DAB} das Lot & von D auf [AB], errichte in { ABC}
im Fußpunkt von & auf [AB] das Lot §, fälle in {GH} von D
das Lot auf , dies trifft H in dem gesuchten Punkte.
Räumliche Konstruktionen benutzten schon die Alten, z. B. Archytas
zur Würfelverdoppelung (S. 7712), S. 101), Pappus) zur Lösung der
Aufgabe: Gegeben ist ein Bruchstück eines Kreiszylinders; seinen
Durchmesser zu konstruieren. Die Aufgabe ist auf Kugel, Kegel,
Flächen zweiter Ordnung auszudehnen.
Das Apollonische Taktionsproblem (S. 61) ist mehrfach auf den
Raum übertragen worden³), ebenso die Aufgaben von Malfatti (S. 61)¹)
und Castillon (S. 52).5)
Aufgaben betreffend die Bestimmung von Flächen zweiter Ord-
nung durch neun gegebene Punkte oder polare Elemente und von
Raumkurven dritter Ordnung durch gegebene Punkte und Sekanten
1) W. Dyck, Katalog mathem. usw. Modelle (München 1892), p. 43.
2) 1. c., p. 1073.
3) S. z. B. Fermat, De contactibus sphäricis. S. ferner E. Kötter 1. c.,
p. 109. Fiedler, Zyklographie oder Konstruktion der Aufgaben über Kreise
und Kugeln (Leipzig 1882).
4) S. Steiner, Crelles J. 1 (1826), p. 178
5) S. E. Kötter 1. c., p. 149.
Werke I, p. 35.