Kapitel V. Teilung des Kreises, der Lemniskate usw.
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[AP,], [BQ,], [CR₂] gehen durch einen Punkt. Sind P₁Q₁R₁ die
vierten harmonischen zu P Q R₂ in bezug auf BC bzw. CA bzw.
AB, so ist auch
AR BP, CQ₁
·
.
BR, CP, AQ
=
1,
2
2
also wegen der Umkehrung des Menelaischen Satzes (s. S. 13): P₁,
Q, R auf einer Geraden. Ebenso liegen: P Q R₂, P₂ Q1 R₂, P₂ Qq R₁
auf je einer Geraden. Diese vier Geraden bilden ein vollständiges
Viereck, also liegen nach dem Satz von Gauß (s. S. 31) die Mittel-
punkte ihrer drei Diagonalen P₁P2, Q1 Q2, R₁ R, auf einer Geraden.
Die Mittelpunkte von RR, und P,P, sind aber R und P, also ist
[PR] diese Gerade, also Q = ([PR][AC]) der Mittelpunkt von Q₁ Q2,
also QQ QA QC, was zu beweisen war.
=
·
1
Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes erhält man den all-
gemeineren: Beschreiben die Ecken ABCDE... eines n-Ecks den
Hauptkreis, während n-1 seiner Seiten [AB], [BC], ... Kreise des
Büschels berühren, dann berührt auch die letzte immer einen Kreis
des Büschels. Denn aus dem für n = 3 bewiesenen Satze folgt, daß
die Voraussetzungen des Satzes auch für das n-1 Eck ACDE...,
- 2 Eck ADE... usw. erfüllt sind.
das n
-
Berühren alle n Seiten des n-Ecks ABCD... einen und den-
selben Büschelkreis und die ersten n-1 Seiten des n-Ecks A'B'C'D'...
denselben, so muß auch die nte Seite dieses n-Ecks denselben Kreis
berühren. Demnach erhält man den Satz: Gibt es ein n-Eck, das
einem Kreise ein-, einem andern umschrieben ist, so gibt es deren
unendlich viele. Der Satz ist durch Projektion sofort von Kreisen
auf Kegelschnitte zu übertragen; das ist der berühmte Satz von
Poncelet.¹)
Auf dem Vervielfachen und Vergleichen beruht das Messen 2),
d. h. die Beantwortung der Frage, wieviel mal so groß ein Bogen ist
als ein anderer. Man hat dazu den bekannten Euklidischen Algorith-
mus anzuwenden. Dabei wird natürlich der Archimedische Satz der
Meßbarkeit vorausgesetzt, der in diesem Fall lautet: „Durch Verviel-
fachung eines Bogens kann man stets zu einem Bogen kommen, der
größer ist als ein gegebener." Die Richtigkeit des Satzes für die
exzentrische Bogengleichheit ergibt sich wie folgt:
1) Traité, letzter Teil.
2) Es ist zu beachten, daß das Messen nicht das Teilen voraussetzt, ob-
wohl das Messen von Strecken immer hierauf gegründet wird. Das Teilen ist
eine schwierigere Operation, in vielen Fällen unmöglich, wo doch das Messen
ausführbar ist; z. B. schon beim Messen der Bögen eines Kreises, einer Lemnis-
kate usw.
Das Messen von Winkeln ohne Teilen vollzog schon Lagny, Mém.
Paris 1724.
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