Kapitel V. Teilung des Kreises, der Lemniskate usw.
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Bezeichnet man mit den Lemniskatenbogen vom Anfangs-
punkte (r = 0, y = 0) aus bis zum Punkte (r, v), so findet man
leicht:
ф
=
dr
während für den Kreis, dessen entsprechende Gleichung:
r = cos
lautet,
ф
=
V1
dr
ist. Die umgekehrte Funktion lautet für den Kreis:
für die Lemniskate:
r = sin ❤,
r = sin lemn ❤ oder kürzer sl.
Diese Funktion hat schon Gauß ¹) betrachtet.
Wir setzen den halben Umfang einer Lemniskatenschleife:
dr
Das Additionstheorem lautet:
sl (9₁+92)
*
sl q, V1 — —
· sl¹ ₁ + sl ø₂ √ 1 — sl¹ ₂
1
1 - sl² 9, sl² 92
Ehe man an die Teilung der ganzen Lemniskate herangeht, hat
man wie beim Kreise das Bogenabtragen und Bogenhalbieren zu be-
trachten. Um den Bogen 9, von dem Punkte q' aus abzutragen,
hat man den Endpunkt des Bogens q", also:
r"= sl q″
zu konstruieren. Das ist mit Zirkel und Lineal möglich, weil »”
nach dem Obigen gleich sl('+₂-₁) sich quadratisch irrational
durch r', r₁, r darstellen läßt. Die gezeichnet vorliegende Lemnis-
kate macht dabei den Gebrauch des Zirkels überflüssig; man kommt
mit dem Lineal allein aus.
-
Für das Bogenhalbieren geht aus der Formel
sl 2p:
=
2 sl q
V1 81+q
oder 1 4
―
812 9
81229
-
hervor, daß es mit Lineal und Zirkel ausführbar ist.
1) Werke III, p. 404.
=
0