Kapitel V. Teilung des Kreises, der Lemniskate usw.
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Zahl 2º5+1 keine Primzahl, sondern das Produkt von zwei Primzahlen
6416700417 ist; ebenso zeigte Landry, daß
22+1=274177.67280421310721
und daß auch 2²²+1 zerlegbar ist; Lucas ¹) zeigte, daß 2º¹²+1 durch
7.214+ 1 114689, Pervouchine, daß 2223 + 1 durch
=
5.225 1167772161,
•
Seelhoff, daß 22+1 durch 5 239 + 1 = 2748779069441 teilbar ist.
In betreff der übrigen Zahlen 2+1, hat man in dieser Beziehung
noch nichts ermitteln können.")
...
Also kommen für die Kreisteilung als neu vorläufig nur in Be-
tracht:
das reguläre 2¹+1=
17-Eck,
4
28+ 1
=
257
""
27
99
"9
""
216165537
Daß aber Teilungen durch diese Zahlen wirklich möglich sind, hat
zuerst Gauß gezeigt.3)
Ohne auf die allgemeine Theorie der Kreisteilungsgleichungen
eingehen zu müssen, können wir diesen geometrisch besonders inter-
essanten Fall sehr einfach, wie folgt, behandeln: Wir schicken zu-
nächst den Eulerschen Begriff der „primitiven Wurzel" für eine Prim-
zahl p voraus. Die Zahl g heißt eine primitive Wurzel für die Prim-
zahl p, wenn die (p-1) ersten Potenzen von g das vollständige
Restsystem von p ergeben. So ist z. B. 3 eine primitive Wurzel
von der Primzahl 7; denn es ist:
g¹=
g2
=
3 =
3(mod 7),
9=
2 (mod 7),
=
27=
6(mod 7),
=
4(mod 7),
g³ =
g¹= 81
95 = 243
2435(mod 7),
g67291(mod 7).
1) Lucas, Théorie des nombres (Paris 1891), p. 51. P. Mansion, Nouv.
corr. math. V (1879), p. 88, 122.
2) Eisenstein hat den Satz ausgesprochen: Es gibt unendlich viele Prim-
zahlen der Form 2"+ 1. Eine noch weiter gehende Vermutung ist die, daß
alle Zahlen 2+1, 2²+1, 2²²+1, 2²²²+1 usw. Primzahlen sind. Vgl. E. Lucas,
Récréations mathématiques II (Paris 1896), p. 235.
=
3) Gauß 1. c., Sectio septima, art. 335 Werke I, p. 412. Die Gaußsche
allgemeine Methode, welche er selbst an dem Fall p=17 erläutert hatte, wurde
für p=
257 von Richelot (Crelles J. 9 (1832), p. 1), Cayley, Crelles J. 41
(1851), p. 81, geometrisch von Affolter (Math. Ann. 6 (1873), p. 582) und Pascal
(Acc. d. Nap. 1887), für p=65537 von Hermes (Gött. Nachr. 1894) durchgeführt.
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