146 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
oder:
=
Für a 2 geht die Gleichung über in:
p
-
(≈+1)P (p-1) + (2 + 1)p ( p − 2) + · · · + 1 = 0,
-1
-2
{zP+1+pzf(z)} p−¹ + { z² + 1 + pzf(z) } p −² + · · · + 1 = 0,
-
2
[(≈P+1)p−1 + (≈P+1)p − ² + · · · + 1] + pz F(x) = 0,
-
[ z P (P − 1) + p z P (P − 2) + ( 2 ) ZP (P − 3)
+
...
· + (?) z² + p] + pz F(2) = 0,
wo f(z) eine ganze ganzzahlige Funktion vom Grade p-2, F(z) eine
solche vom Grade p² - p- 2 bezeichnet. Diese Gleichung erfüllt
die Bedingungen des Eisensteinschen Satzes, also ist auch:
1
-
x²-1
0, also auch
Xp-1
-
=
0
eine irreduktible Gleichung. Mit einer Wurzel derselben ist auch
jede andere, als Potenz von ihr, ein Quadratwurzelausdruck und mit
einem Quadratwurzelausdruck genügt auch jeder durch Vorzeichen-
änderungen daraus hervorgehende der Gleichung. Demnach muß der
Grad eine Potenz von 2 sein. Also kommen von den p"-Ecken als
konstruierbar nur die in Betracht, für die
pa-1(p-1) = 2″,
-
2" + 1 ist.
d. h. α = 1, p
Demnach ist ein p²-, ps
3
p-Eck nur eventuell, wenn:
p-Eck nie konstruierbar und ein
p = 2" +1
ist. So ist z. B. das reguläre 7-, 9-, 11-, 13-Eck nicht mit Zirkel
und Lineal konstruierbar.
Wann ist nun eine Zahl von der Form:
eine Primzahl? Ist
p
=
2n+1
n
=
= km,
wo m eine ungerade Zahl ist, dann ist für 2k = g:
—
-2
2km + 1 = g" + 1 = (g+1) (gm-1 gm −2 + . . . + 1),
d. h. p zerlegbar. Demnach muß der Exponent n eine Potenz von 2
sein.
-
Die Werten 4, 8, 16 liefern Primzahlen, und Fermat¹) sprach
die Vermutung aus, daß alle Zahlen von der Form:
2º +1
Primzahlen sind. Aber bereits Euler wies nach, daß schon die
1) Briefe an Mersenne u. Frénicle 1640, s. Oeuvres de Fermat (par P. Tan-
nery et Ch. Henry, Paris) I (1891), p. 131; II (1894), p. 205, 212.