144 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Der Gaußsche Satz ¹) lautet: „Das Produkt zweier primitiver
Funktionen ist wieder eine primitive Funktion."
Beweis: Es seien
und
f(x) = α。x² + α₁x²-1+
+ a₁
g(x) = b。x" + b₁xm−1 +
-
+ by
m
zwei primitive Funktionen, d. h. es seien a, a, ..., a, teilerfremde
ganze Zahlen und bo, b₁, ..., b teilerfremde ganze Zahlen. Dann ist
für irgendeine Primzahl p etwa:
m
und
ao, A1, A2,
bo, b₁, ba,
...
durch p teilbar.
19
a-1, aber nicht a
-1 aber nicht b
Also sind die ersten ik Koeffizienten von f(x) g(x):
abo
«ტხე + abo,
a o bi + k − 1 + a ₁ b + k − 2 + ··· +
+
a
-1
; - 1 b x + a,
a ; _ 1 b₁ + a,
b x
-
1
+
b x − 1 + ··· + ɑ ; + k − 1 %,
aber nicht
a b i + k + α ₁ b + k −1+
-1
1
1
durch p teilbar.
Demnach ist f(x)g(x) ebenfalls eine primitive Funktion.
Läßt sich also die ganze ganzzahlige Funktion
1
x² + c₁x" -¹+ ··· + c₁
...
cn
in zwei ganze Faktoren mit rationalen Koeffizienten zerlegen
1
x² + c₁x"¹++ c₂
=
...
-1
1
xm-¹+ +bm)
(ax+a, x¹· + a₁) (b₁x™ + b₁ x™
x'
a bo
so muß ab 1 sein, da sonst die primitiven Funktionen ax +
und box ein nicht primitives Produkt ab。 (x² + c₁ x²−¹ + · · ·)
hätten.
...
Der Eisensteinsche Satz 2) bietet ein Kriterium für die Redukti-
bilität einer ganzen ganzzahligen Funktion; er lautet:
,,Sind die sämtlichen Koeffizienten c einer ganzen ganzzahligen
Funktion:
f(z) = 2" + c₁z"-1+ C₂²
+ C₂zn - 2+
·
+ Cn
1) Gauß, Disquisitiones arithmeticae, Sectio II, art. 42
=
Werke I, p. 34.
2) Crelles J. 39 (1850), p. 166. Hier auch die Irreduktibilität der Kreis-
und der Lemniskaten-Teilungsgleichung.