Kapitel IV. Geometrographie und Fehlertheorie.
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Potenzen in bezug auf A, B, C, D sind abwechselnd positiv und negativ,
d. h. die vier Punkte liegen abwechselnd außen und innen. Daß aber
dieser Kreis wirklich die verlangte Minimaleigenschaft hat, geht wie
bei Punkt und Gerade daraus hervor, daß jede Variierung des Kreises,
welche einen Abstand verkleinert, mindestens einen vergrößert; oder
analytisch sehr einfach daraus, daß jeder ihm benachbarte Kreis:
f(x, y)
f(x, y)
f(x, y)
-
f(x, y).
fs Y
¹¹ f₁ (X^• VA) — ^2 f₂ (XB • UB) + As f₂ (c+ c) — + f (XD+ D) = 0,
21
die Potenzen:
Pi
=
21
+2
22
23
+
'
'B'
----
24
f₁ (≈¸‚ Y₁) ¯¯
¯f₂ (XB› YB) fs (xc, Yc) f(xp• YD)
(XAYA) f2
(i=1,2,3,4)
hat, zwischen denen eine lineare Relation besteht; dann findet aber
das Minimum der größten statt, wenn alle gleich sind. (Vgl. z. B.
die Koordinaten der Punkte einer Geraden oder Ebene, wo das Ent-
sprechende unmittelbar anschaulich wird.)
Für den ausgeglichenen Kegelschnitt zu sechs nahe auf einem Kegel-
schnitt gelegenen Punkten P₁, P2, P3, P4, P5, P beweist man zunächst
genau wie beim Kreise, daß die Punkte abwechselnd links und rechts
desselben liegen und gleiche Abstände von ihm haben müssen. Über-
haupt ist diese Schlußweise stets anwendbar bei Kurven vom Ge-
schlechte Null (Unikursalkurven); nur bei solchen, die ja in einem
Zuge beschrieben werden können, hat ja auch der Ausdruck „ab-
wechselnd rechts und links gelegen" überhaupt einen Sinn. Wie wir
beim Kreise statt des Abstandes die Potenz eines Punktes in bezug
auf ihn einführten, so wollen wir hier den halben Abstand eines
Punktes von seiner Polaren einführen, der bei kleinen Abständen dem
Abstand vom Kegelschnitt nahe gleich ist. Ist f(x, y) = 0 die Glei-
chung des Kegelschnitts in Cartesischen Koordinaten, so ist der Ab-
stand eines Punktes von seiner Polaren mit Rücksicht auf S. 18, 3
gleich
f(x, y)
Vf₁+f₂**
wenn f, und f, die Ableitungen von f nach x und y sind. Der Divisor
Vf₁²+f₂ hat eine einfache Bedeutung. Bekanntlich hat der Krüm-
mungsradius den Wert:
2
2
oder, wenn man y' und y" aus
--
(1+ y)
y"
f₁+ f₂y' = 0, f11 + 2f12y+f22Y'² + f2Y"= 0
entnimmt: