Kapitel IV. Geometrographie und Fehlertheorie.
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hältnissen beliebig wachsen. Andrerseits gibt die Lemoinesche Ge-
nauigkeit bei günstigen Lageverhältnissen nur das Maximum des
Fehlers an, z. B. ist der Fehler im Radius, der durch Einsetzen von
zwei Zirkelspitzen begangen wird, nur im Maximum gleich dem
doppelten Exzentrizitätsfehler; der mittlere Fehler wächst nicht pro-
portional der Anzahl der benutzten Punkte, sondern nur proportional
der Quadratwurzel dieser Anzahl.¹)
Fehlerausgleichung. Ist ein Punkt durch mehr als zwei Linien
zu bestimmen, die nicht genau durch einen Punkt gehen, oder eine
Gerade durch mehr als zwei Punkte, die nicht genau auf einer Ge-
raden liegen u. dgl., so ist die wahrscheinlichste Lage des Punktes
bzw. der Geraden zu ermitteln, d. i. nach der Gaußschen Forde-
rung diejenige, bei der die Quadratsumme der Fehler ein Minimum
wird. Der Punkt im Dreiseit, der dieser Bedingung genügt, ist
der Grebesche (Lemoinesche) Punkt: Schnittpunkt, der an den
Winkelhalbierenden gespiegelten Seitenhalbierenden; für ihn ist die
geometrische Abstandssumme Null); er ist Schwerpunkt der Höhen-
fußpunkte. Darauf beruht die Konstruktion des Punktes, und zwar
gleich bei einer Bestimmung aus n Geraden nach dem Bertotschen
Verfahren: Man nehme einen Punkt O und einen durch ihn gehenden
Kreis beliebig an, fälle von O die Lote auf die gegebenen Ge-
raden, deren Fußpunkte heißen R, deren Schnitte mit heißen Q';
S' sei der Schwerpunkt der Q', S der Schwerpunkt der R, [OS]
schneide in T', [T'S'] schneide in O', O'P' sei der durch O'
gehende Durchmesser von , und ▲OSP~▲ O'S'P'; dann ist P
der gesuchte Punkt.
B
Eine Gerade, die von drei gegebenen Punkten A, B, C die
kleinste Abstandsquadratsumme hat,
liegt so, daß drei den Abständen pro-
portionale an ihr angreifende Kräfte
im Gleichgewicht sind. In der Tat, ist
(x, y) = 0 die Gleichung der gesuchten
Geraden in der Normalform, also
1(A)² + 1(B)² + 1(C)²= Minimum
die Bedingung, so folgt durch Differentiation:
x¸l(A) + x¸¹(B) + x¿l(C) = 0,
y(A) + y,(B) + yl(C) = 0;
T
1) Über Fehlerzusammensetzung s. d'Ocagne, Compt. rend. 118 (1894),
Ann. de la soc. scient. Bruxelles 18 A (1894), Bull. de la Soc. Math. de France
23 (1895). Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler, Teil III, Leipzig 1891.
Nitz 1. c., p. 30.
2) S. z. B. Geuer, Die Genauigkeit geometrischer Zeichnungen, Progr.
Karlsruhe 1902.