124 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Fehlertheorie.¹)
Fehlerkurven. Der Schnittpunkt zweier Geraden von konstanter
endlicher gleicher Dicke liegt in ihrem Schnittrhombus. Die diesem
Rhombus einbeschriebene Ellipse, für welche die Geraden konjugierte
Richtungen haben, ist die Fehlerellipse 2). Gleichwahrscheinlich werden
solche Punkte als Schnittpunkte genommen, die auf einer zur Fehler-
ellipse koaxialen und ähnlichen Ellipse liegen (Satz von Bravais).³)
Denn für solche Punkte ist die Quadratsumme der Fehler, d. h. der
Abstände von den beiden Geraden, konstant.) Handelt es sich um
den Schnittpunkt von krummen Linien, so treten an die Stelle der
Fehlerellipsen Fehlerorale; für die Schnitte von Kreisen mit Geraden
oder Kreisen s. Nitz a. a. O.
Die gleichwahrscheinlichen Verbindungsgraden zweier Punkte, die
als kleine Kreise angesehen werden, umhüllen eine Fehlerhyperbel.5)
Denn für deren Tangenten ist die Quadratsumme der Fehler, d. h. der
Abstände von den beiden Punkten konstant.
Fehlerfortpflanzung. Man kann der Unsicherheit, die der Bestim-
mung von Punkten und Geraden anhaftet, durch die Dicke der
Punkte und Linien Rechnung tragen. Dann wird im Lauf einer
Konstruktion die Dicke zunehmen; es fragt sich in welcher Weise.
Bezeichnet man die lineare Unsicherheit in der Lage eines Grund-
punktes mit 1, so ist die lineare Unsicherheit eines konstruierten
Punktes nach Lemoine der Anzahl der benutzten Punkte gleich. Das
ist richtig, wenn z. B. ein Punkt durch wiederholtes Abtragen von
Strecken erhalten wird: in jeden späteren Punkt geht die Unsicher-
heit des vorhergehenden zum vollen Betrage ein. Es ist all-
gemeiner auch dann richtig, wenn jeder Punkt durch die vorher-
gehenden in der besten Weise, nämlich durch senkrechte Schnitte
bestimmt wird. Diese Unsicherheit kann bei ungünstigen Lagever-
-
1) Vereinzelte Bemerkungen über Fehler in der Punktbestimmung machten
schon Cotes (1709), Lambert (1765), Adrain (1808), Herschel (1850); s. Nitz
1. c., p. 6. Die weitere Ausbildung wurde durch die Geodäsie veranlaßt. Die
Forderung einer Fehlertheorie für die zeichnende Geometrie ist wohl zuerst von
Chr. Wiener (Lehrb. d. darst. Geom. 1884 I, p. 190), später besonders von
F. Klein (Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie
(Leipzig 1902), p. 358 ff.) erhoben worden.
2) Bienaymé, Liouv. J. (1) 18 (1852); Czuber, Wiener Akad. Ber. 1880,
80 Abt. IIa, Prager technische Blätter 1878. Schols, Akad. Amsterd. 15 (1875).
Delft Ann. 3 (1887); Ann. de l'éc. polyt. de Delft 2 (1886). Bertrand, Comptes
Rendus 106 (1888). Jung ib.
3) Mém. prés. par divers savants, Paris 1846, IX.
Lincei. Rendiconti (fis. mat. nat.) (5) 6, 1, 1897.
Reina, Atti Acc.
4) S. z. B. Salmon-Fiedler, Kegelschnitte (6) I, p. 341.
5) Nitz 1. c., p. 17.