122 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
zahlen zu charakterisieren sein. Die Steinerschen Konstruktionen (s.
S. 55) sind dadurch charakterisiert, daß der Kreis die geringste An-
zahl von Malen, nämlich einmal geschlagen werden soll, und die Masche-
ronischen (s. S. 56) dadurch, daß das Lineal die geringste Anzahl von
Malen, nämlich nullmal gebraucht werden soll. Aber zwischen diesen
beiden äußersten Fällen liegen alle diejenigen, bei denen Lineal und
Zirkel ohne Beschränkung gebraucht werden dürfen.¹) Unter allen bei
einer Aufgabe möglichen Lösungen ist nur dann eine bestimmte als
einfachste zu bezeichnen, wenn man der Anwendung des Zirkels im
Verhältnis zu der des Lineals ein bestimmtes Gewicht g beilegt. Ist
dann z. B. a-mal das Lineal und b-mal der Zirkel gebraucht worden,
so ist abg ein Maß für die Einfachheit der Konstruktion, und die-
jenige Konstruktion unter dieser Annahme die einfachste, für welche
diese Zahl am kleinsten ist. Ein Urteil über die Annahme von g
kann wohl nur empirisch gewonnen werden.")
Nimmt man g = 13), so findet man für die Elementaraufgaben
des Paralleleziehens, Lotefällens, Loteerrichtens, Streckehalbierens,
Winkelhalbierens sehr einfache geometrographische" Konstruktionen
mit dem Einfachheitsmaß 3.
Genauigkeit. Die Genauigkeit hängt von den Fehlerquellen ab
und wird bei Gleichartigkeit derselben ihrer Anzahl (umgekehrt) pro-
portional zu setzen sein. Man begeht zwei Fehler, indem man ein
Lineal an zwei Punkte anlegt, oder indem man eine Strecke in einen
Zirkel nimmt und eine Zirkelspitze in einen Punkt einsetzt. Ge-
schieht das erste a-mal, das zweite b-mal und nennt man g das rela-
tive Gewichtsverhältnis der Fehler, so ist abg ein vorläufiges Maß
der Genauigkeit.
Für jede ganz oder halb willkürliche Linie (z. B. Gerade durch
einen gegebenen Punkt, Kreis mit beliebigem Radius um einen
gegebenen Punkt) ist die Zahl a bzw. b um zwei bzw. eine Ein-
heit zu verringern. Nicht gezählt zu werden braucht, daß die
Punkte wegen der Unvollkommenheit der Linien und des Papiers
ungenau werden, da dieser Unsicherheit durch die Zählung der
Fehler, die der Bestimmung der Punkte anhaften, schon Rech-
nung getragen wird. Nicht zu unterscheiden braucht man, ob ein
1) Auch das Abtragen einer Strecke muß als Schlagen eines, wenn auch
kleinen Kreisbogens angesehen werden; aber es tritt hier der günstigste Fall
einer Punktbestimmung ein, nämlich der, daß die beiden Linien sich senkrecht
schneiden.
2) Vgl. hierzu Mehmke, Deutsche Math.-Ver. XII (Leipzig 1903), p. 116;
R. Güntsche ib., p. 289.
3) Das tut Lemoine (Assoc. frc. pour l'av. d. sc., Paris 1892, p. 38), und
zwar nimmt er bei allen Elementaroperationen gleiches Gewicht an. Seine Ab-
zählung ist von der oben vorgeschlagenen etwas verschieden.