118 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
ginären Punkte in die Kreispunkte projiziert. Denn durch zwei Tan-
genten und einen Punkt sind zwei reelle Kreise bestimmt.
Durch drei Punkte (von denen bzw. zwei konjugiert imaginär
sind) und zwei konjugiert imaginäre Tangenten werden stets vier
(bzw. zwei¹)) reelle Kegelschnitte bestimmt.
Durch zwei Punkte und drei Tangenten sind vier reelle oder
vier imaginäre Kegelschnitte bestimmt, je nachdem, ob die zwei Punkte
durch die drei Tangenten nicht getrennt oder getrennt sind. Sind
zwei von den drei Tangenten konjugiert imaginär, so gibt es zwei
reelle, zwei imaginäre Kegelschnitte. Durch zwei konjugiert imaginäre
Punkte und drei Tangenten (unter denen bzw. zwei konjugiert ima-
ginäre sind), werden stets vier (bzw. zwei) reelle Kegelschnitte be-
stimmt.
Über Kegelschnitte aus Mittelpunkt und drei Punkten oder Tan-
genten s. Steiner.2)
Von metrischen Problemen ist das Apollonische unter diesem
Gesichtspunkte von Stoll ³) behandelt worden. Er zeigt, daß immer
nur 0, 4 oder 8 reelle Lösungen existieren, und wie diese Fälle von
der Lage der drei gegebenen Kreise abhängen.
Aufgaben:
1. Wieviel reelle und imaginäre Kegelschnitte gibt es, die einem
gegebenen Dreieck um- (bzw. ein-)beschrieben, einem gegebenen Kegel-
schnitt ähnlich sind und eine gegebene Zentrale haben?
2. Vier Gerade ABCD im Raume haben zwei Transversalen; ein
rein projektives Kriterium dafür aufzustellen, daß diese reell oder daß
sie imaginär sind.
Anzahlgeometrie.')
Bei Konstruktionsaufgaben höheren Grades bietet schon die Be-
stimmung der Anzahl der möglichen Lösungen Schwierigkeiten.
Algebraisch kommt diese Frage darauf hinaus, den Grad eines
Gleichungssystems, d. h. die Anzahl der Lösungen desselben zu be-
1) Über die Konstruktion in diesem Fall s. K. Rohn, D. Math. Ver. 17
(1908), p. 94.
2) Crelles J. 30 (1846), p. 97
3) Math. Ann. 6 (1873), p. 612.
Werke II, p. 327.
4) Vgl. namentlich H. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie.
Leipzig 1879. Zeuthen, Kopenhag. Abh. IV (1873). Anzahlgeometrische
Probleme in bezug auf Punkte, Gerade, Ebenen s. bei C. A. Bretschneider,
Schlöm. Ztschr. 6 (1861), p. 311; in bezug auf Kegelschnitte, die durch Punkte,
Tangenten, Normalen bestimmt sind, s. J. Steiner, Crelles J. 55 (1858), p. 356
Werke II, p. 661 (speziell 683). B. Sporer, Schlöm. Ztschr. 35 (1890), p. 237,
293. A. Wiman, Schlöm. Ztschr. 40 (1895), p. 296. Über Kegelschnitte, welche
Kurven vierten Grades vierpunktig berühren (u. dgl.), s. J. Steiner, Crelles J.
45 (1853), p. 183 = Werke II, p. 439.