Kapitel III. Imaginäre Elemente. Realitätskriterien. Anzahlgeometrie. 115
Die Auflösung der Aufgaben (1) und (3) ergibt sich ohne
weiteres. Aufgabe (2) wird, wie folgt, gelöst:
Die beiden imaginären Punkte seien
X = (4; B),
A',
X₁=
=
\A₁', B₁
(A, B),
der Schnittpunkt der beiden Geraden [ABA'B'] und [¸Â'B₁']
=
werde mit QQ, bezeichnet. Dann
Q
konstruiere man Q' als vierten har-
monischen Punkt zu A, B, Q und
Qals vierten harmonischen Punkt
zu A₁, B₁, Q₁; ferner RR' har-
monisch zu QQ' und dem gemein-
samen harmonischen Paar zu AA',
BB′ (s. S. 48), ebenso R₁R' harmonisch zu
samen harmonischen Paar zu A,A,', B₁B'.
Q
X=(R) and X,&: R).
X₁
-
Folglich ist die gesuchte Gerade
(s. Fig.):
R
= D'R'
B
QB
A
A, A Q
1
B₁
Q, Q' und dem gemein-
Dann ist:
R₁
R
R
Q
Di
R
R1
QR
Dual entsprechend löst man Auf-
gabe (4).
Es muß noch entschieden werden, wann zwei imaginäre Punkt-
paare identisch sind. Ist das erste Paar harmonisch zu den Paaren
AA', BB', das zweite Paar harmonisch zu den Paaren CC', DD', so
haben diese vier Paare im Falle der Identität der beiden imaginären
Paare ein gemeinsames harmonisches Paar, was mit Hilfe des Involu-
tionssatzes vom Viereck (s. S. 7) entschieden werden kann. Das
Entsprechende gilt von imaginären Geradenpaaren.
Bei den quadratischen Aufgaben wird noch erforderlich, die
Schnittpunkte einer imaginären Geraden mit einem Kegelschnitt zu
bestimmen, und die dual entsprechende. Die imaginäre Gerade sei:
A B
A'B'
Schneidet man die vier Geraden A, A', B, B' mit einer Geraden
Gin den Punkten A, A, B, B' und mit der zu G in bezug auf den
Kegelschnitt konjugierten Geraden &₁ (s. S. 19) in den konjugierten
Punkten A₁, A, B₁, B₁', dann sind die beiden Punkte
А В
(4B) und (4; B;)
Α' Β'
ein Paar konjugiert imaginärer Punkte zu dem gesuchten Schnitt-
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