114 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
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gebaut ist; - ist eine Funktion von 2 und , ferner eine
Funktion von zwei Argumenten, x + (fcos +g sin q) ist die Summe
von zwei Argumenten, deren eines x ist, ebenso ist das andere
f cos q+g sin op eine Summe von zwei Argumenten; ferner sind
f cos q, g sin o Produkte von zwei Argumenten und f, g Funktionen
von zwei Argumenten p, q. Auf diese Beschränktheit der durch
,,Nomogramme" 1) lösbaren Gleichungen hat Hilbert 2) hingewiesen
und daran die interessante Frage geknüpft, ob eine allgemeine Glei-
chung siebenten Grades (für den fünften und sechsten ist es leicht
einzusehen) durch eine Kette stetiger Funktionen von nur zwei Argu-
menten lösbar sei. Hilbert hat gefunden, daß es überhaupt analytische
Funktionen gibt, die nicht durch endlich-malige Verkettung von Funk-
tionen von nur zwei Argumenten erhalten werden können.
Kapitel III.
Imaginäre Elemente. Realitätskriterien. Anzahlgeometrie.
Imaginäre Elemente.³)
Imaginäre Punktpaare haben wir bereits früher (S. 5 u. 44) ein-
geführt als gemeinsame harmonische zu zwei sich trennenden Punkt-
paaren.*) Bezeichnen wir das gemeinsame harmonische Paar der
beiden Paare AA', BB' mit XX', so wollen wir diese beiden Punkte
in der Weise durch die Bezeichnung trennen, daß wir:
X
=
A B
Α' Β'
X'-(34)
BA
B'A'
setzen, also jeden der beiden Punkte einer Reihenfolge der gegebenen
Paare zuordnen. Die entsprechende Festsetzung soll für imaginäre
Geradenpaare getroffen werden. Dann sind die Aufgaben zu lösen:
1. einen reellen und einen imaginären Punkt zu verbinden;
2. zwei imaginäre Punkte zu verbinden;
3. den Schnittpunkt einer reellen und einer imaginären Geraden;
4. den Schnittpunkt von zwei imaginären Geraden zu konstruieren.
1) Von Schilling eingeführt.
2) Mathematische Probleme. Gött. Nachr. 1900, Heft III.
3) Vgl. hierzu: August, Untersuchungen über das Imaginäre in der Geo-
metrie. Programm Berlin 1872.
4) Diese Definition eines imaginären Paares durch irgend zwei zu ihm har-
monische ist für die Konstruktionen geeigneter als die v. Staudtsche (Beiträge
zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856, § 7, p. 76), bei der die Paare noch
unter sich harmonisch sind, und auch geeigneter, als die von Lüroth (Math. Ann.
11, 1877, p. 84; 13, 1878, p. 305) und F. Klein (Gött. Nachr. 1872, p. 273 = Math.
Ann. 22, 1883, p. 242) als äquianharmonisches (s. S. 3) Paar zu drei reellen Punkten
(bzw. Graden). Vgl. hierzu Vahlen, Abstrakte Geometrie (Leipzig 1905), p. 164.