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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
Die Kurve (m
=
1,
n =
3), also
r cos³ ф
=
const.
hat Longchamps als kubische Duplikatrix (richtiger Multiplikatrix)
eingeführt.¹)
Schließlich kann hier noch die Duplikatrix von Montucci) ge-
nannt werden:
sin q. cos q
=
const.
9°
3 3
=
1 ge-
Zur Multiplikation ist z. B. noch die Astroide x + y
eignet.) Ihre Tangente im Punkte (x, y) zerfällt durch den Berühr-
punkt in die Stücke und y.
Auch zur Winkeldreiteilung gibt es eine Reihe besonders ge-
eigneter Kurven, sog. Trisektrixkurven.
Die älteste ist wohl die Trisektrix von Maclaurin, die in Bipolar-
koordinaten die Gleichung: 3p hat, wodurch ihre Anwendung
=
zur Trisektion sofort deutlich wird.")
Die Trisektrix von Catalan 5) ist die minus-erste Fußpunktkurve
der Parabel in bezug auf ihren Brennpunkt. Ihre Polargleichung
39
r sin³
2
=
const.
läßt ihre Anwendung zur Würfelvervielfachung erkennen. Für die
Trisektion kommt in Betracht, daß ihre Tangente im Punkte (r, q)
mit dem Radius r den Winkel
90º ф
bildet.
3
Die Gaußsche) Sinusspirale
1
=
Cos3
ф
3
hat die Eigenschaft, daß ihre Normale im Punkte (r, q) mit dem
Radius r den Winkelbildet.
1) Longchamps 1. c., p. 92-94. Uhlhorn (Entdeckungen in der höheren
Geometrie, Oldenburg 1809, p. 54) hatte sie als Toxoide bezeichnet. Loria
1. c., p. 89.
2) Nouv. ann. 1857, p. 449. Résolution de l'équation du 5 degré (Paris
1869), Elgé, Journ. de Math. spec. 1896; Loria 1. c., p. 159.
3) L. Matthiesen, Arch. d. Math. u. Phys. (1) 48 (1868), p. 231.
4) Maclaurin, A Treatise on fluxions, frz. v. R. P. Pezenas I (Paris 1749),
p. 198; Geometria organica (London 1720), p. 23. Vgl. auch G. de Longchamps
1. c., p. 120; H. Brocard, Journ. de Math. spéc. (3) V (1891); Loria 1. c., p. 81 ff.
5) E. Catalan, Journ. de math. spéc. (2) IV (1885), p. 229 ff. Loria l. c.,
p. 86.
6) F. Gauß, Progr. Bunzlau 1890.