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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
Größen Strecken, so braucht man doch keinen Streckenübertrager, da
die kubische Kurve natürlich auch quadratische Aufgaben zu lösen
gestattet. Aber es bleibt zu untersuchen, durch welche speziellen
Daten der Kurve (z. B. Achsen, Zentrum od. dgl.) die zwei Parallelen-
paare und die zwei Rechten ersetzbar sind. Ein erstes Resultat in
dieser Hinsicht ist das von London, daß der Mittelpunkt des Er-
zeugungskreises der Zissoide das Datum eines Quadrates ersetzen kann.
Nimmt man zu der gezeichnet gegebenen kubischen Kurve noch
einen Kegelschnittzirkel bzw. im metrischen Falle einen Zirkel hinzu,
so werden im allgemeinen, nämlich, wenn im metrischen Falle die
gegebene kubische Kurve keine zyklische (durch die Kreispunkte
gehende), z. B. keine Zissoide ist, Aufgaben fünften und sechsten
Grades lösbar. Z. B. kann man mit der gegebenen Kurve
und dem Kreise
y = x³
y² + x² + ay + bx + c = 0
die Gleichung sechsten Grades
x² + x²+ax³ + bx + c = 0
auflösen. Jede Gleichung sechsten (also auch fünften) Grades läßt
sich hierauf zurückführen, denn zunächst kann man die Glieder mit
x5, x¹ durch eine quadratische Transformation eliminieren, dann kann
man (im allgemeinen) die Koeffizienten von 26 und x2 durch eine
Substitution
x | kx
einander gleich machen; das erfordert nur Lineal und Zirkel. Mit
Hilfe einer kubischen Kurve nebst Lineal und Zirkel vollzog De la
Hire ¹) die Fünfteilung des Winkels, und mit einer parabolischen Kon-
choide löste Descartes alle Gleichungen fünften und sechsten Grades.*)
Beim Gebrauch nicht einer gezeichnet vorliegenden kubischen
Kurve, sondern eines Instruments, z. B. eines Zissoidenzirkels³), werden
natürlich Aufgaben bis zum neunten Grade lösbar; er ist also für
kubische Aufgaben kein angemessenes Lösungsmittel, sein Konstruk-
tionsbereich reicht darüber weit hinaus und wäre erst noch genauer
1) Mém. Par. 1710.
2) S. Claude Rabuel, Commentaires sur la géométrie de M. Descartes
(Lyon 1730). Jac. Bernouilli, Notae et animadversiones in Geometriam Car-
tesii (Frankfurt 1695) = Opera (Genf 1744) II, p. 665. Vgl. J. A. Grunert, Arch.
Math. u. Phys. 27 (1856), p. 245.
3) Newton 1. c. S. auch Briot-Bouquet, Géom. anal., 16. Aufl., Paris
1897, p. 29. Seine Erzeugung beruht auf dem Satze: Wenn von zwei kon-
gruenten Dreiecken jedes mit seiner Basis durch die Spitze des andern gleitet,
so beschreibt der Mittelpunkt der Höhe eines jeden in der Ebene des andern
eine Zissoide.