Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Allgemeiner, hat die Gleichung der gegebenen Kurve die Form
2
4³ = 44 ²,
wo lo, la, la lineare Funktionen von x, y sind, so wird die gegebene
Gleichung:
durch die Gerade:
ts+at+b=0
1½ + al₁ + bl=0 mit t
1,
=
"
(-4, e-p)
aufgelöst. Darin ist der erste Fall für
12=y, l₁ = x,
1=1,
der zweite für
=
y, l2 1,
=
4₁ = x
enthalten. Ein weiterer Fall ist z. B.:
lo = y,
y,
l₂ = 1−x, l₁ = x,
x
also t
=
die Kurve
y
x³ y³ (1 − x)
-
-
ist im metrischen Fall die Zissoide. Aber alle diese Fälle repräsen-
tieren im Grunde nur einen einzigen, da für den vorliegenden Zweck
alle Kurven als gleichbedeutend anzusehen sind, die sich projektiv
ineinander transformieren lassen. Die Kurve = 127, ist eine sehr
spezielle Kurve, sie ist vom Geschlechte Null, hat einen singulären
Punkt, der (noch spezieller) eine Spitze ist. London beweist auch,
daß eine beliebige kubische Kurve vom Geschlecht Null, aber nicht,
daß eine beliebige kubische Kurve vom Geschlecht Eins dasselbe
leistet.') Auch muß man zeigen, um ein vollkommenes Analogon
zum Descartesschen Satz zu haben, daß nur ein Stück der Kurve ge-
zeichnet vorliegen muß.
Wir wollen nun den projektiven, affinen und metrischen Fall
unterscheiden. Im affinen Fall müssen natürlich außer der kubischen
Kurve zwei Parallelen paare gegeben sein. Aber es ist die Frage, ob
man, wie S. 53, eins derselben oder beide durch Zentralen der
Kurve ersetzen kann; oder ob, wenn letztere die unendlich ferne Ge-
rade berührt oder oskuliert, der unendlich ferne Berührungspunkt
derselben die Parallelen ersetzen kann u. dgl.
Für den metrischen Fall müssen wie früher zwei Parallelenpaare
und zwei Senkrechtenpaare gegeben sein. Es ist nicht nötig, daß ein
Quadrat gegeben ist. Sind die gegebenen und zu konstruierenden
1) Gerade hierauf käme es an, wie auch im Descartesschen Satze jeder
beliebige Kegelschnitt brauchbar ist. Bei vielen Aufgaben liegt es schon in der
Natur der Aufgabe, daß ein Kegelschnitt gegeben ist; dann braucht man weiter
nichts als Lineal und Zirkel.
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