Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Demnach kann man alle kubischen Probleme lösen, wenn man
einen gezeichnet vorliegenden Kegelschnitt hat (der kein Kreis sein
darf) und einen „Lotefäller". Als solcher kann der Winkelhaken dienen,
aber in größerer Vollkommenheit leistet das Reuschs Spiegellineal ¹):
die Kurve und ihr Spiegelbild müssen im Schnittpunkte mit dem
Lineal ohne Knick zusammenstoßen. Das noch erforderliche Strecken-
übertragen bzw. Winkelhalbieren kann am einfachsten mit dem Spiegel-
lineal selbst erfolgen: das Spiegelbild jedes Schenkels muß in die
Verlängerung des andern fallen.
x² y²
a² b2
-
1 in den Kreis x² + y²= a² ein
(4) Mit der Ellipse +
reguläres Siebeneck SS1 S2 S3 S4 S5 S6 zu konstruieren.) Projiziert man
seine Ecken senkrecht zur Hauptachse a auf die Ellipse in die
Punkte TTTTTT, so daß T, die Koordinaten
a cos
2hл
7
20 π
b sin
7
6
hat, so liegen wegen des Satzes S. 88 ST, TT auf einem, STÖT TË
auf einem andern Kreise; als deren Gleichungen findet man:
-
(x − a)² + y² + (2 a − — 4) (x − a) ±
-
x2 y
a²
b2
e2V7
4b
y
=
= 0.
(5) Mit der Ellipse + = 1 in den Kreis x²+ y² = a² ein
reguläres Dreizehneck SS,
...
S12 zu konstruieren. Von den Punkten
(x
2 kπ
Txa cos
13
y=b sin 217) (k−1, 2, 3, … . 12)
2kл
13
...
liegen TT, TT, TT, TT, TOT₁T10 T12, TOT, TT₁₁ auf je einem
1
der vier Kreise:
x² + y²
-
2
e² 3√13 e2
4
7
11
133 13 a² + b²
2
Ꮖ
4 a
2
士
​46Y
V₁
2
-
0.
Entsprechend kann man die regulären p 3. 2+1 Ecke kon-
struieren; während z. B. die 92"+1 Ecke zur Konstruktion die
zweimalige Anwendung von Schnittpunkten der Ellipse mit Kreisen
erfordern.³)
1) Schlöm. Ztschr. 49 (1903), p. 385. 2) S. Vahlen 1. c.
=
3) p=7, 13, 97 s. E. Pascal, Giornale di Matematiche di Battaglini,
XXV (1887), p. 82. p 19, 37 s. I. Amaldi, ib. XXX (1892), p. 141; deren
Konstruktionen erfolgen mit Hilfe einer zweckmäßig gewählten, also nicht festen
Parabel. Affolter (Math. Ann. VI, (1873), p. 592) und Feldblum 1. p. 60 c.,
konstruieren das reguläre Sieben- und Dreizehneck, indem sie deren kubische
Resolvente, die natürlich drei reelle Wurzeln hat, auf eine Trisektion zurück-
führen, die bekannte Lösung des casus irreducibilis. Auch Huygens (Opera
varia Lugd. Bat. 1724 1, p. 388) löste die Archimedische Kugelteilung durch eine