Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Der auflösende Kreis ist also für die Gleichung
At+B+Ct² + Bt + E=0 und die Ellipse
derselbe wie für die Gleichung
-
At Bt³- Ct + Bt + E=0 und die Hyperbel
+
y²
བུ་ ཎ་
=
1
y'
-
1.
b2
In der Tat geht der eine Fall in den andern über durch die Sub-
stitution
t || ti
Bi || B
bi || b.
Wir beweisen nunmehr den zweiten Teil des Descartesschen
Satzes, daß nämlich von dem Kegelschnitt nur ein Stück gegeben zu
sein braucht. Es sei z. B. ein Ellipsen- oder Hyperbelbogen
x = a
-
1 812
1+ εt
y
=
b
•
2 t
1+ εt'
t' < t <ť"
に
​ε = +1 Ellipse
\&=-1 Hyperbel/
gegeben. Die gegebene biquadratische Gleichung
At¹+ Bt³ + Ct² + Dt + E = 0,
wird durch jede der affinen Transformationen
WO
t | kt + T,
=
·
k = √/ D + 2 Ct + 3 Br³ +4 At³
ε(B+4AT)
ist, in eine durch den Kegelschnitt und einen Kreis auflösbare trans-
formiert. Ist nun t, eine (reelle) Wurzel der gegebenen Gleichung
und sei 1 zwischen t' und t" gelegen, so wähle man für
einen hinreichend nahen rationalen Näherungswert einer reellen
Wurzel der kubischen Gleichung:
(t₁ − r)² (B+4 At) ε = 2² (D + 2 Cr+3 Br²+4 At³),
und es sei der zugehörige von 2, so daß diese Gleichung be-
friedigt ist. Dann ist der zugehörige Wert von k
eine Wurzel - t
k
=
=
t₁
2
--
τ
reell, und
λ der transformierten Gleichung liegt zwischen
tund t', d. h. der auflösende Kreis schneidet den gegebenen Kegel-
schnittbogen.¹)
Aufgaben: (1) Den Durchmesser einer Kugel so zu teilen, daß
eine im Teilpunkte senkrechte Ebene die Kugel in einem gegebenen
Verhältnis teilt (Archimedes).2)
1) Vahlen, Arch. d. Math. u. Ph. (3) III (1901), p. 116.
2) Opera ed. Heiberg I, p. 215; III, p. 152.