Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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so ist
ab
Ф
der zum Punkte x, y gehörige Hyperbelsektor, und soll die „exzen-
trische Anomalie" des Punktes x, y heißen. Jetzt beweist man genau
wie bei der Ellipse den Satz: Vier Punkte einer Hyperbel sind kon-
zyklisch, wenn die Summe ihrer exzentrischen Anomalien gleich 0 ist
(abgesehen von Vielfachen von 2xi, was aber nur bei imaginären
Punkten in Betracht kommt).
Soll jetzt aus der positiven Größe k, die man größer als 1 an-
nehmen darf, die Kubikwurzel konstruiert werden, so konstruiere man
zunächst den Punkt P(x, y) der Hyperbel, der auf den zu den Asym-
ptoten parallelen Geraden:
X
a
y
+
=
k und
b
liegt. Ist dessen Anomalie, so sind:
ዎ
Xx Y
a
--
b
=
ф
3'
επί + φ
4πί + φ
3 "
3
1
k
die Anomalien derjenigen Punkte, deren Oskulationskreise durch den
Punkt P gehen, und diese drei Punkte liegen mit P auf dem ähn-
lich wie oben zu konstruierenden Kreise:
2e2
x² + y² -
-
2e2
4 a ² X p X — 4 b² Y pY-
-
a² b2
2
=
0.
Jeder dieser drei Punkte (nur der reelle kommt wirklich in Betracht)
liefert vermittels:
y
х
a
+ 3/1/2/3
=
V k
einen der drei Werte dieser Kubikwurzel.¹)
Auflösung der biquadratischen Gleichung durch eine feste Ellipse.
Man kann wie S. 71 bewirken, daß der Koeffizient der dritten
und der ersten Potenz der Unbekannten in der Gleichung
At Bts+ Ct² + Dt + E = 0
1) Auch hier ergibt sich wie bei der Ellipse eine einfache Konstruktion des
Krümmungskreises in einem gegebenen Punkte (x, y), da man ja die zugehörige
Anomalie leicht vermittels
X
Y
+ 1 = ( a + 1 ) ³°
a b
-
a
3
verdreifachen kann; X, Y hat dann die dreifache Anomalie wie x, y usw. Gibt
man der Hyperbelgleichung die Form px+qy—rxy = 0 (s. S. 19), so geht sie
durch Inversion am Kreise x + y² = 1 in die Strophoide über. Daraus ergibt
sich die Übertragung der Sätze über konzyklische Punkte und Oskulationskreise.
Über Strophoiden vgl. S. Loria, Spezielle algebraische und transzendente ebene
Kurven, deutsch von F. Schütte (Leipzig 1902), p. 58.