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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
d. h. der Punkt M liegt auf der Polaren von P in bezug auf den
Kreis: x²+ y² = (2)².
Ferner gilt:
Ум
Ꮖ Ꮇ
=
as YP a Yp' a Yp" Yp"
·
-
b2 Хр b Xp'
=
b Xp" X p
Aus diesen beiden Daten läßt sich der Mittelpunkt des Kreises, und
damit der Kreis selbst, der die Dreiteilung des Winkels liefert, leicht
konstruieren.
Kubikwurzelausziehung durch eine gegebene Hyperbel.
Die entsprechenden Betrachtungen lassen sich an der Hyperbel
für die Kubikwurzelausziehung anstellen; an Stelle der Kreisfunktionen
sind die Hyperbelfunktionen einzuführen.
Bezeichnen wir den Scheitel (x = 1, y = 0) der gleichseitigen
Hyperbel x²- y² = 1 mit A, die Koordinaten eines beliebigen Hyperbel-
punktes P (auf dem Aste x>0) mit x, y und den Inhalt des
Hyperbelsektors AOP mit so ist bekanntlich, wenn man x, y als
α
2
Funktionen dieses Sektors betrachtet:
X
=
ea + e
2
-α
2
= cos hyp α,
sin hyp α.
Die Dreiteilung des Hyperbelsektors erfordert die Konstruktion
der Größe:
welche der Gleichung:
α
3
α
=
e³ + e ³,
3
9
।3 - 3↓ 2a = 0
genügt, worin:
ist.
a
=
cos hyp a
Die Dreiteilung des Hyperbelsektors ist also im wesentlichen mit
der Kubikwurzelziehung aus der Größe:
identisch. Ist jetzt:
eα =
=
x + y
1
x2
-
y?
a² b2
die Gleichung einer beliebigen Hyperbel und setzt man:
x = a cos hyp ❤,
y = b sin hyp 9,