Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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oder:
=
2
Σtgtgtgtg
ዎ3
2
2
Nun gilt für die Tangensfunktion die später abzuleitende Summations-
formel:
tg Σ x=
tg x-tgx, tg x, tg x3 + ···
1
--
tgx, tg x+tgx, tgx, tgx, tg x
Daraus folgt für den vorliegenden Fall:
tg
¶ 1 + ¶½ +93 +¶₁
9
Damit ist unser Satz bewiesen.
2
=
0.
Läßt man nun drei von den vier Punkten in einen einzigen mit
der exzentrischen Anomalie zusammenfallen, so schneidet dieser
Kreis, der Oskulationskreis im Punkte, die Ellipse in einem Punkte
P mit der Anomalie q, so daß:
34+9=4R oder 8R oder 12 R
ist ¹), also:
4 R
-
ф
3 9
8 R
oder
ዎ
3 9
12 R
--
oder
3
"
die drei zugehörigen Punkte liegen aber wieder nach demselben Satze
mit dem zur Anomalie gehörigen Punkte auf einem Kreise, da ja:
9+
ᏎᎡ .
3
-
+
8R-9
-9
+
3
12 R -9
3
=
8R
ist. Für die Gleichung dieses Kreises findet man leicht:
WO
2e2
2e2
x² + y² 4 a = x px + 4 b = YpY-
P
a² + b²
2
0,
e die Exzentrizität der Ellipse, xp und Yp die Koordinaten des
Punktes P mit der Anomalie
bedeuten. Dieser Kreis liefert also
zugleich die Dreiteilung des Win-
kels 9. Bezeichnet man die Koordi-
naten des Mittelpunktes mit x
undy, so ist:
also
XM
=
e²
4a² Xp Yμ
"
Xxp+Y MY P
MP
=
=
e²
4 b ² Y pr
M
1) Daraus folgt beiläufig eine sehr einfache Konstruktion des Krümmungs-
kreises der Ellipse im Punkte mit der Anomalie , da man nur den zur Ano-
malie
- 3 gehörigen Punkt zu konstruieren braucht; dann hat man zwei
Punkte des gesuchten Kreises und die Tangente im einen.
=