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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
(oder DFJG) wird; dann ist OE die größere der beiden mittleren
F
B
Proportionalen zwischen OA und OB;
ebenso JA zwischen DA und DH.
Dreht man AB um A, so beschreibt
der Punkt Feine Zissoide. Liegt diese
gezeichnet vor, so kann der Punkt E
zu gegebenem OB gefunden werden.
Nach diesem kurzen Überblick über
die älteren Methoden sollen nunmehr
A einige neuere folgen, bei denen das
Wesentliche die Erfüllung der schon
von Descartes aufgestellten Forderung
ist, daß nur ein fester Kegelschnitt be-
nutzt werde.
Winkeldreiteilung durch eine gegebene Ellipse.
Hierfür ist folgender Satz die Grundlage: „Es sei
die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse; setzt man:
so heißt
x = a cos o; y = b sin q (0≤9<2л),
x2
+
a² b2
1
die „exzentrische Anomalie" des Punktes x, y. Vier Punkte
der Ellipse sind konzyklisch, wenn die Summe ihrer exzentrischen Ano-
malien gleich Null ist, abgesehen von Vielfachen von 27.“
Beweis. Setzt man:
х
=
t-tg-(1) - (1+),
=
ф y
2 b
:
a
a
so erhält man die Gleichungen der Ellipse in der Form:
1 t2
2 t
x=α
1+ 1,
Y b
1+t2
Die vier Schnittpunkte der Ellipse mit einem beliebigen Kreise:
x² + y²+ Ax + By + C = 0
bestimmen sich aus der biquadratischen Gleichung:
2
-
a²
1+ to
+62.
(2t) 2
(1+1) 9
----
2
+ Aa
oder:
1 t2
+ Bb
1+t²
2 t
トピ
​1+t² + C = 0
a² (1—2t²+t¹)+4b²t²+Aa · (1—t²)(1+t²)+2Bbt+2Bbt³+C(1+t²)²=0,
wo also t und t³ die gleichen Koeffizienten haben.
Infolgedessen ist, wenn mit t₁, ta, ts, t die vier Wurzeln be-
zeichnet werden:
t₁ + tq + tz + t₁ = t₁ tq tz + t₁ tq t s + t₁ tz t₁ + tą tę ts,