Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Bei einer andern, der dritten, von Pappus überlieferten Lösung
wird zur Drittelung des Kreisbogens AB diejenige Hyperbel mit der
Exzentrizität 2 benutzt, welche A zum Scheitel des einen, B zum
Brennpunkt des andern Astes hat. Von dieser ist eine Newtonsche¹)
und die von Clairaut 2) nicht wesentlich verschieden. Letzterer be-
nutzt den Umstand, daß diese Hyperbel auch die Sehne AB drittelt
und die Halbierende des Winkels zur Direktrix hat.
Auch die Würfelvervielfachung wurde durch Einschiebungen
mittels der Konchoide bewirkt.³) Diese Lösungen scheinen auf der
Figur des Heron ¹) zu beruhen, in der ABCD ein Rechteck, O sein
Mittelpunkt, OE OF ist. Dann läßt sich leicht zeigen, daß
=
AD: BEBE: DF = DF: AB
ist. Man findet also die beiden mittleren Proportionalen zwischen
AD und AB, wenn man die
Gerade ECF so legt, daß
OE OF
=
ist. Apollonius bewerkstelligt
das durch Probieren.
Die Lösungen von Vieta 5)
und Newton) beruhen darauf,
daß zunächst durch
AGDG = AH
oder auf ähnlichem Wege die
Gerade [HD] und dann zwi-
schen ihr und [AD] die Strecke
IF AG eingeschaltet wird,
deren Verlängerung durch G
geht. Bei Vieta wird KF
=
statt BE genommen.
H
00
B
E
J
Auf einer andern Art Einschiebung beruht die Lösung von Diocles
und Sporus.) Man soll (s. Fig. S. 88) DFEG so ziehen, daß FE=EG
1) Arithm. univ. (Cambridge 1707), p. 305.
2) C. Taylor, Geometrie of Conics, Cambridge 1881, Nr. 308, p. 126.
3) Zuerst von Nicomedes (s. Pappus 1. c., p. 243), s. Cantor I, p. 303. Vgl.
hierzu überhaupt: Pendlebury, Messenger (2) II, p. 166; Glaisher, Jahrb.
üb. d. Fortschr. d. Math. V, 244; S. Günther, Prager Akad. (6) IX, 1878.
4) Heron, Ballistik (s. Thevenot, Veteres mathematici, Paris 1693). Diese.
Lösung stimmt mit der des Apollonius und des Philo überein. Cantor I, p. 317.
5) Vieta, Supplementum geometriae, prop. V. Opera p. 242 ff.
6) 1. c., p. 303.
7) Archimedis opera III, p. 78 ff., 90 ff. Eutocius berichtet über sie, als dem
Sporus zukommend. Pappus 1. c., p. 165. Sie findet sich später z. B. bei Dürer,
Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt (Nürnberg 1525).