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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
liegt auf einer gleichseitigen Hyperbel, die auch durch O' geht
und [TR], [TP] zu Asymptoten hat. Macht man
O'R 2. O'T, R'P' 2. R'Q',
=
=
so sieht man, daß die Pappussche Hyperbel zur Figur OPQR mit
der Grégoireschen Hyperbel zur Figur O'P'Q'R' übereinstimmt.¹)
Übrigens genügt eine einmal gezeichnet vorliegende gleichseitige
Hyperbel für alle Trisektionen. Man kann ja den Durchmesser OR
stets so ziehen, daß er mit einer der Asymptoten den zu trisezieren-
den Winkel bildet.
•
Auch die Lösung von Chasles) beruht auf einer gleichseitigen
Hyperbel mit dem Durchmesser OR, die aber außerdem durch den
Schnittpunkt von OT mit der Tangente in R geht; sie geht durch
einen der beiden Dreiteilungspunkte des Bogens RU. Die obige
Pappussche Hyperbel zur Drittelung des Bogens RU ist zugleich
Chaslessche Hyperbel für den Bogen RW = 270° — 2 · RU, von dem
Qein Dreiteilungspunkt ist (Fig. S. 82). Außerdem findet man leicht,
daß die Koordinaten von R die beiden mittleren Proportionalen zwischen
denen des Schnittpunktes N von [OW] mit der in R auf [OR] er-
richteten Senkrechten sind; das gibt eine einfache Konstruktion für
das Delische Problem durch den über ON als Durchmesser zu
schlagenden Kreis.") Ist nämlich xy = pq die Mittelpunktsgleichung
der Hyperbel, p und q die Koordinaten von N, so genügen die beiden
geometrischen Mittel
x = Dỹ, y = V p²q
sowohl der Hyperbelgleichung xypq, als der Gleichung
x² + y² = px + qy
des Kreises über ON als Durchmesser.
Durch denselben Punkt geht aber auch jede der beiden Parabeln:
x² = qy,
y² = px,
die von Menächmus (ca. 340 v. Chr.)) zu diesem Zwecke benutzt
wurden. In einer zweiten Lösung nimmt er eine der Parabeln mit
der Hyperbel xy=pq zusammen, während Descartes') eine der beiden
Parabeln und den Kreis x²+ y²=px + qy dazu benutzt.
1) Auch die Trisektion des Alsindschari (Cantor I, p. 644) ist nicht wesent-
lich anders.
2) Traité des sections coniques, Paris 1865, art. 37, p. 36.
3) Grégoire, Opus geometricum quadraturae circuli, Anvers 1668, lib. VI,
prop. 138, p. 602.
4) Archimedis opera ed. Heiberg III, p. 92 ff.
5) Geometria ed. Schooten, Amsterdam 1659, lib. III, p. 91, nouv. éd. (Paris
1886), p. 75.