Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Von diesen Auflösungen sind 1. und 3. die von Pappus (1. c.)
überlieferten¹), 2. und 4. die entsprechenden aber auf dem zweiten Kon-
choidenast beruhenden; die in 5. und 6. benutzte Konchoide mit Leitkreis
ist die von Étienne Pascal) eingeführte von Roberval) benannte Pascal-
sche Schneckenlinie, von der Blaise Pascal bemerkt, daß sie zur Tri-
sektion brauchbar ist.) Übrigens ist diese letztere Trisektion den
andern insofern überlegen, als die benutzte Kurve nur ein für allemal
gezeichnet vorliegen muß, während in den früheren zu jedem Winkel
eine besondere Konchoide gezeichnet werden müßte. Aber diese Linien
sind von vierter, also höheren Ordnung als nötig.
Auch der Umstand, daß Q der Mittelpunkt von PV ist, führt zu
einer Konstruktion, indem man den Ort aller Halbierungspunkte der
Strecken PV aufsucht, deren Endpunkte auf diesen beiden senkrechten
Durchmessern liegen, während sich die Gerade PV um R dreht. Die
Figur ergibt ohne weiteres:
PT :0T = ᎡᎢ : ᎡᎢ - OV,
RT: -
also, wenn man die Abstände der Punkte R und Q von den Achsen
OV und OP bzw. mit a, b und mit x, y bezeichnet:
a
b
(x − 1 ) (y — 12 ) — ab
-
-
=
als Gleichung des gesuchten Ortes. Dieser ist also eine gleichseitige
Hyperbel mit dem Durchmesser OR und den Asymptotenrichtungen
[OP], [OV]. Diese Grégoiresche Lösung ist nicht wesentlich ver-
schieden von der folgenden, auch von Pappus überlieferten: Man
ziehe die Senkrechten RO', PQ' und die Parallele O'Q' || RP. Dann
P'
P
R'
1) Diese Einschiebungen sind später oft wiedergefunden worden, z. B. 1.
von Newton (Arithm. univ.), ohne daß diese Identität immer erkannt wurde
(s. z. B. Enriques, Fragen d. Elementargeometrie, Leipzig 1907, p. 243); ebenso
6. von Campanus (in den Anmerkungen zur ersten gedruckten Euklidausgabe,
Venedig 1482, s. auch Copernicus in Curtze, Reliquiae Copernicanae, Schlöm.
Ztschr. XIX (1874), p. 80 ff. Regiomontan. s. Cantor I, p. 94, 257).
2) Nach P. Tannery (s. Cantor II, p. 806, Loria l. c., p. 136).
3) Mém. de l'acad. des sc. VI (Paris 1730), 23, lin. 8.
4) Sie ist zugleich Fußpunktkurve eines Kreises (s. Hippauf, Lösung des
Problems der Trisektion, Leipzig 1872) und war vielleicht den Griechen bekannt
(s. Cantor II, p. 75).