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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
Für das reguläre Neuneck gibt die analoge Figur die Gleichung:
x³-3x10¹),
die man einfacher direkt aus der Dreiteilungsgleichung findet, da die
in Gl. (4) S. 82 mit a bezeichnete Größe
hier den Wert hat. Die entsprechende
R
60°
200
400
Q
40 1801801
U
2
Figur für das reguläre Siebzehneck wird
uns später die Konstruktion desselben
ergeben.
Die beiden Aufgaben der Würfelvervielfachung und der Winkel-
dreiteilung führen beide auf Gleichungen von der Form:
x³- 3х 2a = 0,
-
und zwar ist für den Fall der Dreiteilung a<1, für den Fall der
Würfelver-k-fachung, wo
VT +
x=
3
VE
1
k
statt als Unbekannte zu nehmen ist,
1
a
=
(
k + z ) >
>> 1.
k
Die Tatsache, daß in der Dreiteilungsfigur (S. 82) PQ=QV=1
ist, hat zu verschiedenen Auflösungen des Trisektionsproblems mit
Hilfe von „Einschiebungen" geführt.
Die Trisektionsfigur liefert sofort sechs verschiedene Auflösungen
durch Konchoiden mit dem Pole R. Denn:
1. nimmt man OV als Leitlinie und das Intervall gleich 2, so
erhält man den Punkt P²);
2. nimmt man OP als Leitlinie und das Intervall gleich 2, so
erhält man den Punkt V;
3. und 4. nimmt man für dieselben Leitlinien das Intervall 1,
so erhält man den Punkt Q³);
5. nimmt man schließlich den Kreis als Leitlinie und das Inter-
vall gleich 1, so erhält man entweder den Punkt P oder den
Punkt VA)
6.
1) Diese Gleichung hatte in der oben angedeuteten Weise Abul Djud Mo-
hammed ben Allaïth (1038) in Beantwortung einer von Albiruni in dessen Geometrie
vorgelegten Frage hergeleitet (s. Woepcke 1. c.). S. Cantor I, p. 652.
2) Von Proklus (ed. Friedlein, p. 272) dem Nicomedes (in dessen verlorener
Schrift,,de conchoidibus"), von Pappus (1. c., p. 246) sich selbst zugeschrieben.
3) S. z. B. Vieta, Supplementum geometriae, Opera, p. 240, Prop. IX, p. 245
(Cantor II, p. 539). Montucla, Histoire des recherches sur la quadrature du
cercle (2. éd.) Paris 1871, p. 240.
4) Auf der Einschiebung von PV beruht auch die Trisektion des Jordanus
Nemorarius, De triangulis (hrsg. von M. Curtze in den Mitt. des Kopernikus-
Vereins VI, Thorn 1887), Satz 20 (Cantor II, p. 75).